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リクエストお願いします。 最大消費電力定理 負荷インピーダンスが内部インピ...

tou********さん

2017/10/1816:41:53

リクエストお願いします。

最大消費電力定理
負荷インピーダンスが内部インピーダンスの共役の複素数になるとき最大になる。


負荷インピーダンスが抵抗分しかないとき、定理を使えな

いのは
何故ですか!?



別の問題で、内部インピーダンスが抵抗分しか無く、負荷インピーダンスが抵抗分とリアクタンス成分があったときは、解説には定理が使ってました。
この場合は何故使えるのでしょうか!?


機械的に、
負荷インピーダンスが
a+jbの形(抵抗分とリアクタンス)の時は定理を使える
と覚えるしか無いでしょうか!?



解答よろしくお願いします。

負荷インピーダンス,リアクタンス,内部インピーダンス,定理,リアクタンス成分,最大消費電力定理,複素共役

この質問は、juu********さんに回答をリクエストしました。

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ベストアンサーに選ばれた回答

juu********さん

リクエストマッチ

2017/10/1823:27:46

回答が遅くなって、スミマセン。


内部インピーダンスを Ż₁=R₁+jX₁
負荷インピーダンスを Ż₂=R₂
としたとき、
値を調整できる変数となるのは、負荷の R₂ だけとなります。
「最大消費電力定理」では、
Ż₂=Ż₁の複素共役
となるように、負荷を調整することになるのですが、
内部インピーダンス Ż₁ に虚数があり、負荷インピーダンス Ż₂ は実数のみなので、この等式を成立させることは、絶対にできません。
最大消費電力定理は、適用できないのです。


内部インピーダンスを Ż₁=R₁
負荷インピーダンスを Ż₂=R₂+jX₂
とした場合、
調整できる変数となるのは、R₂ と X₂ の2つになります。
「最大消費電力定理」では、
Ż₂=Ż₁の複素共役
となるように、負荷を調整することになる。つまり、
R₂=R₁ および、X₂=0
となるように調整すればよいので、
最大消費電力定理は、適用できるのだと思います。


機械的に覚えるのでもいいですが、上記❶❷を理解していれば、覚えなくてもいいと思います。
(と言いますか、私が、記憶が苦手なんです。)

回答は、以上です。

-------------------------------------------

以下は余談です。
❶の条件下で、負荷の消費電力が最大となる条件を、導出してみます。
内部インピーダンスを Ż₁=R₁+jX₁
負荷インピーダンスを Ż₂=R₂
電源電圧の大きさを E
負荷での消費電力を P
として、計算します。
P=|E/(Ż₁+Ż₂)|²・|Ż₂|
=|E/(R₁+R₂+jX₁)|²・R₂
=E²R₂/{(R₁+R₂)²+X₁²}
=E²R₂/(R₁²+2R₁R₂+R₂²+X₁²)
=E²/{(R₁²+X₁²)/R₂+R₂+2R₁}
ここで、
Za=(R₁²+X₁²)/R₂
Zb=R₂
Zc=Za+Zb
変数は R₂
として、「最小の定理」を適用すると、
Za・Zb=(R₁²+X₁²)/R₂・R₂=R₁²+X₁²=一定
なので、
Za=Zb のときに、Zc は、最小になります。
そして、Zc が最小のときに、P は最大になります。
P が最大になるためには、
Za=Zb なので、
(R₁²+X₁²)/R₂=R₂
∴ R₂=√(R₁²+X₁²)
となります。

  • juu********さん

    2017/10/1900:13:14

    上記の余談について、最小の定理ではなく、微分を使って解いてみます。
    dZc/dR₂=(d/dR₂){(R₁²+X₁²)/R₂+R₂}
    =-(R₁²+X₁²)/R₂²+1
    dZc/dR₂=0 において、Zc は極値となります。
    つまり、
    R₂=√(R₁²+X₁²)
    そして、
    R₂<√(R₁²+X₁²) において dZc/dR₂<0
    R₂>√(R₁²+X₁²) において dZc/dR₂>0
    なので、この極値は、極小値です。
    さらに、極はこの1点のみなので、極小値は、最小値です。
    そして、
    Zc が最小値ということは、P は最大値です。

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質問した人からのコメント

2017/10/22 15:18:25

ありがとうございました!

最大消費電力定理は基本的には【負荷側】を変化させることを忘れていました。
最小定理と微分のやり方2つとも理解しました!

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