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正方形のタイルを正方形になるように敷き詰めたらタイルが43枚余った。また、別の...

aa_********さん

2017/10/1923:02:37

正方形のタイルを正方形になるように敷き詰めたらタイルが43枚余った。また、別の大きさの正方形に敷き詰めたら今度は13枚タイルが不足した。このとき、正方形のタイルの枚数を求めなさい。

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min********さん

2017/10/2001:27:17

正方形のタイル数をn、1回目に敷き詰めた正方形の一辺のタイル数をm, 2回目に敷き詰めた正方形の一辺のタイル数をkとする。
条件より、
n=m^2+43...①
n=k^2-13...②
①=②より、m^2+43=k^2-13;
k^2-m^2=56; (k+m)(k-m)=2^3*7;
(k+m),(k-m)が偶数でなければいけない、(k+m)>(k-m)>0
に留意すると、
(1)K+m=28 k-m=2; k=15 m=13 n=212
(2)k+m=14 k-m=4; k=9 m=5 n=68
正方形のタイルの枚数は、68枚か、212枚である。

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xkx********さん

2017/10/2022:06:38

①タイルの数をs
s=a^2+43
②s=b^2-13
③まとめる!
s=a^2+43=b^2-13
13+43=b^2-a^2
b^2-a^2=56
(b+a)(b-a)=56=2*28
=2*2*14=2*2*2*7
2*2*14=2*2*2*7
b≧a
•b+a=8
b-a=7
2b=15
b=15/2ダメ
•b+a=14
b-a=4
2b=18
b=9
a=5ok

•b+a=28
b-a=2
2b=30
b=15
a=13ok
,答え
68枚か
212枚
検算
b=9
a=5
s=a^2+43=25+43=68
s=b^2-13=81-13=68
,,ok
b=15
a=13
s=a^2+43=169+43
=212
s=b^2-13=225-13
=212
,,ok

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moh********さん

2017/10/2010:12:10

1枚の正方形のタイルの1辺を1とすると、正方形のタイルを正方形になるように敷き詰めたらタイルが43枚余ったので、ある正方形の面積はx²。つまり、敷き詰めた(使われた)正方形の枚数はx²枚。このときタイルが43枚未使用の状態。
よって、タイルは全部でx²+43枚。

次に、別の大きさの正方形に敷き詰めたら今度は13枚タイルが不足したので、別の大きさの正方形の面積をy²とすると、ここで敷き詰めるために使われるタイルは、x²+43+13=x²+56枚。

よって、y²=x²+56 ⇒ y²-x²=56 ⇒ (y+x)(y-x)=56。
当然のことながら、y+x>y-x。
積が56になるペアは、56×1、28×2、14×4、8×7の4通り。
ここで問題に合う連立方程式は、y+x=28…①、y-x=2…②;および y+x=14…③、y-x=4…④。
①-② ⇒ 2x=26 ⇒ x=13
②に代入 ⇒ y-13=2 ⇒ y=15
したがって、x²+43に「x=13」を代入して、タイルは全部で13²+43=169+43=212枚

③-④ ⇒ 2x=10 ⇒ x=5
③に代入 ⇒ y+5=14 ⇒ y=9
したがって、x²+43に「x=5」を代入して、タイルは全部で5²+43=25+43=68枚

∴正方形のタイルの枚数=68枚および/または212枚

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nie********さん

2017/10/2000:19:57

正方形のタイルを正方形に敷き詰めるので(一辺のタイルの数)^2がその正方形に使われるタイルの数です。
一辺のタイルの数をXとして別の大きさの一辺をX+aとする
小さいサイズでは43枚余って大きくしたら13枚足りなかったので
つまり
(x+a)^2ー13-(X^2+43)=0になります
(x+a)^2-X^2=56
2aX+a^2=56
X=(56-a^2)/2a
X=28/aーa/2
Xは自然数になるので
28を素因数分解すると2^2×7
28/aを考えると自然数になるには a=2、4、7、14、28となる
a/2を考えるとaは2の倍数なので上と照らし合わせるとa=2、4、14、28
Xは一片の長さなので自然数でないといけない
X=28/aーa/2よりa=2、4となる(14以上はマイナスになるので不成立)

a=2の時
X=28/2ー2/2=13
枚数は13×13+43=212枚
確かめ
13×13の時169枚 212-169=43枚余る
15×15の時225枚 225-212=13枚足りない

a=4の時
X=28/4ー4/2=5
枚数は5×5+43=68枚
確かめ
5×5の時25枚 68-25=43枚余る
9×9の時81枚 81-68=13枚足りない

68枚か212枚が答えになります。

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t_k********さん

2017/10/1923:28:23

正方形のタイルを正方形になるように敷き詰めると、その枚数は、

2×2=4枚
3×3=9枚
4×4=16枚


というような枚数となります。

最初に敷き詰めた正方形を□、別の大きさにしようと後から並べた部分を■で記すと(画像表示の関係で全体が縦長の長方形に見えるかも知れませんが、縦横同じ個数の正方形です)

■■■■■
■■■■■■
■■■■■■
■■■■■■
■■■■□□□□□
■■■■□□□□□
■■■■□□□□□
■■■■□□□□□
■■■■□□□□□

となっており、

・最初に並べた□は冒頭で述べた○×○という枚数
・後から並べた■43枚+足りない13枚+最初に並べた□の合計枚数もやはり
冒頭で述べた○×○という数字

と分かります。

すなわち
43+13+2×2=34 違う
43+13+3×3=65 違う
43+13+4×4=72 違う
43+13+5×5=81 該当(9×9)

と分かります。

聞かれているのはタイルの枚数(□と■の合計)なので

43+5×5=68枚 (答え)

となります。

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