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数学の問題に関する質問です。 この問題について解き方と答えを教えてください...

windup0412さん

2017/11/2201:00:06

数学の問題に関する質問です。

この問題について解き方と答えを教えてください。
よろしくお願いします。

1次の不定積分を求めよ
①∫tan⁻¹xdx
②∫sin⁻¹xdx

2自然数nに対しIn=∫(logx)ⁿdxとおくとき、In=x(logx)ⁿ-nIn-1が成り立つことを示せ

3In=∫[0,π/2]sinⁿxdxとおくとき、n>2においてIn=(n-1)/n In-2が成り立つことを示せ

4前問の結果を用いて次の定積分の値を求めよ
①∫[0,π/2]sin⁵xdx
②∫[0,π/2]sin⁸xdx

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ベストアンサーに選ばれた回答

2017/11/2823:23:57

[windup0412さん]への回答

①I=∫tan⁻¹xdx
tan⁻¹x=uと置く....................................(1)
tanu=x → dx=du/(cosu)^2..................(2)
1/(cosu)^2=1+(tanu)^2=1+x^2 → |cosu|=1/√(1+x^2)...(3)
(1)(2)より
I=∫tan⁻¹xdx=∫udu/(cosu)^2
.........部分積分して
=utanu-∫tanudu=utanu-∫(sinu/cosu)du=utanu+ln|cosu|
.........(1)(3)より
=xtan⁻¹x+ln{1/√(1+x^2)}

②I=∫sin⁻¹xdx
sin⁻¹x=uと置く....................................(1)
sinu=x → dx=cosudu..................(2)
(cosu)^2=1-(sinu)^2=1-x^2..............(3)
(1)(2)より
I=∫sin⁻¹xdx=∫ucosudu
.........部分積分して
=usinu-∫sinudu=usinu+cosu
.........(1)(3)より
=xsin⁻¹x+√(1-x^2)

2・I[n]=∫(logx)ⁿdx
部分積分して
I[n]=x(lnx)^n -∫x{n(lnx)^(n-1)}(1/x) dx
=x(lnx)^n-n∫(lnx)^(n-1) dx=x(lnx)^n -nI[n-1]

3・In=∫[0,π/2]sinⁿxdx=∫[0,π/2]sinx(sinx)^(n-1)dx
.........部分積分して
=[0,π/2](-cosx)(sinx)^(n-1) +∫[0,π/2](cosx)^2 (n-1)(sinx)^(n-2)dx
=(n-1)∫[0,π/2](cosx)^2 (sinx)^(n-2)dx
=(n-1)∫[0,π/2]{1-(sinx)^2}(sinx)^(n-2)dx
=(n-1){∫[0,π/2](sinx)^(n-2)dx -∫[0,π/2](sinx)^ndx}
=(n-1)I[n-2]-(n-1)I[n]
I[n]=(n-1)I[n-2]-(n-1)I[n]
I[n]={(n-1)/n}I[n-2]

残りの問題は時間があれば後で。

  • 2017/11/2900:25:29

    I[n]={(n-1)/n}I[n-2]

    ①I[5]=∫[0,π/2]sin⁵xdx
    I[5]=(4/5)I[3]=(4/5)(2/3)I[1]
    =(8/15)∫[0,π/2]sinxdx=(8/15)[0,π/2](-cosx)=(8/15)

    ②∫[0,π/2]sin⁸xdx
    I[8]=(7/8)I[6]=(7/8)(5/6)I[4]=(7/8)(5/6)(3/4)I[2]
    =(35/64)∫[0,π/2](sinx)^2dx
    =(35/64)(1/2)∫[0,π/2](1-cos2x)dx
    =(35/64)(1/2)[0,π/2]{x-(1/2)sin2x}
    =(35/128)(π/2)=35π/256

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