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ベクトルの問題です。

seiya_311_0501さん

2017/11/2023:43:23

ベクトルの問題です。

三角形ABCの内心Iについて、
(OI)={a(OA)+b(OB)+c(OC)}/(a+b+c)
が成り立つことを示せ。
かっこでくくっているのはベクトルです。
(OA)はOAベクトル という意味。

という問題がわかりません。

補足a,b,cはそれぞれBC,CA,ABの長さです。

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ベストアンサーに選ばれた回答

2017/11/2115:15:31

ベクトル記号の矢印は省略します。

たとえば、∠XOYの二等分線上に点Zがあるとき、実数tを用いて
OZ=t(OX/|OX|+OY/|OY|)
と表せることは理解できますか?

これより
AI=s(AB/|AB|+AC/|AC|)=(s/c)AB+(s/b)AC
=(s/c)(-OA+OB)+(s/b)(-OA+OC)
=(-s/c-s/b)OA+(s/c)OB+(s/b)OC
OI=OA+AI=(1-s/c-s/b)OA+(s/c)OB+(s/b)OC

BI=t(BA/|BA|+BC/|BC|)=(t/c)BA+(t/a)BC
=(t/c)(-OB+OA)+(t/a)(-OB+OC)
=(t/c)OA+(-t/c-t/a)OB+(t/a)OC
OI=OB+BI=(t/c)OA+(1-t/a-t/c)OB+(t/a)OC

係数を比較して
1-s/c-s/b=t/c
s/c=1-t/a-t/c
s/b=t/a

これを解いて
s=bc/(a+b+c)
t=ac/(a+b+c)

OI=(1-s/c-s/b)OA+(s/c)OB+(s/b)OC
=(1-b/(a+b+c)-c/(a+b+c))OA+(b/(a+b+c))OB+(c/(a+b+c))OC
=(a/(a+b+c))OA+(b/(a+b+c))OB+(c/(a+b+c))OC
=(aOA+bOB+cOC)/(a+b+c)


もし、
OZ=t(OX/|OX|+OY/|OY|)
これが理解できないのであれば、別の方法として、
直線AIと辺BCの交点をD、直線BIと辺CAの交点をEとすると、
ADは∠Aの二等分線なので
BD:DC=AB:AC=c:b
BEは∠Bの二等分線なので
CE:EA=BC:BA=a:c
これは理解できますよね・

AD=(b/(b+c))AB+(c/(b+c))AC
AI=sAD=(bs/(b+c))AB+(cs/(b+c))AC
=(bs/(b+c))(-OA+OB)+(cs/(b+c))(-OA+OC)
=((-bs-cs)/(b+c))OA+(bs/(b+c))OB+(cs/(b+c))OC
=-sOA+(bs/(b+c))OB+(cs/(b+c))OC
OI=OA+AI=(1-s)OA+(bs/(b+c))OB+(cs/(b+c))OC
同様に
BE=(c/(c+a))BC+(a/(c+a))BA
AI=tBE=(略)=-tOB+(ct/(c+a))OC+(at/(c+a))OA
OI=OB+BI=(at/(c+a))OA+(1-t)OB+(ct/(c+a))OC
係数を比較して
1-s=at/(c+a)
bs/(b+c)=1-t
cs/(b+c)=ct/(c+a)
これを解いて
s=(b+c)/(a+b+c)
t=(c+a)/(a+b+c)
よって
OI=(a/(a+b+c))OA+(b/(a+b+c))OB+(c/(a+b+c))OC
=(aOA+bOB+cOC)/(a+b+c)

どちらにせよ、文字の入った連立方程式を解かなければなりませんが。

質問した人からのコメント

2017/11/21 17:21:07

2通りのやり方で説明していただいて、
ありがとうございます!
とてもわかりやすかったです!

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