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問1:3次元ベクトルa₁,a₂,a₃を列ベクトルとする行列Aを考える。 A=(a₁ a₂ a₃) A...

tak********さん

2017/11/2300:33:34

問1:3次元ベクトルa₁,a₂,a₃を列ベクトルとする行列Aを考える。
A=(a₁ a₂ a₃)
Aの行列式の値は1であったとする。
このとき、以下の行列式の値を求めよ。
det(a₁+2a₂, 2a₁+2a₂+2a₃, 2a₁+a₂)



問2:3次元ベク

トルa₁,a₂,a₃を列ベクトルとする行列Aを考える。
A=(a₁ a₂ a₃)
Aの行列式の値は1であったとする。
このとき、以下の行列式の絶対値を最小にするようなxの値を求めよ。
det((3x+6)a₁+3a₂+(2x−1)a₃, −4a₁+(x+7)a₂−a₃, 5a₁+5a₃)



これらの問題の解き方が分かりません。教えていただけると幸いです。

なお、文中の「a」はすべて太文字です。

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fra********さん

2017/11/2512:51:34

1.
det(a1+2a2,2a1+2a2+2a3,2a1+a2)
(3列を1列に加える)
= det(3a1+3a2,2a1+2a2+2a3,2a1+a2)
(1列から3を,2列から2を外へ出す)
= 6det(a1+a2,a1+a2+a3,2a1+a2)
(1列×(-1)を2列,3列に加える)
= 6det(a1+a2,a3,a1)
(1列について行列式の和に分ける)
= 6{det(a1,a3,a1)+det(a2,a3,a1)}
(第1項の行列式は1,3列が同じなので0)
= 6det(a2,a3,a1)
(2,3 列を入れ替えると(-1)倍になり)
= 6(-1)det(a2,a1,a3)
(さらに1,2列を入れ替えて)
= 6(-1)(-1)det(a1,a2,a3)
(仮定よりdet(a1,a2,a3)=1なので)
= 6

2.
3列から共通因数5を外に出し,3列で足し算に分けると

与式=

5det[(3x+6)a1+3a2+(2x-1)a3,-4a1+(x+7)a2-a3,a1]・・・・・(*)
+
5det[(3x+6)a1+3a2+(2x-1)a3,-4a1+(x+7)a2-a3,a3]・・・・・(**)

ここで(*)において,3列×-(3x+6)を1列に加え,3列×4を2列に加えて

(*) = 5det[3a2+(2x-1)a3,(x+7)a2-a3,a1]
(1,2列で足し算に分けると)
= 5det[3a2,(x+7)a2,a1]+5det[3a2,-a3,a1]+5det[(2x-1)a3,(x+7)a2,a1]+5det[(2x-1)a3,-a3,a1]
(1,4項は同じ列ベクトルをもつ行列式なのでその値は0であり)
= 5det[3a2,-a3,a1]+5det[(2x-1)a3,(x+7)a2,a1]
(文字定数を外に出して)
= -15det(a2,a3.a1)+5(2x-1)(x+7)det(a3,a2,a1)
(列ベクトルを順番通りに並べ替えて)
= -15(-1)^2det(a1,a2,a3)+5(2x-1)(x+7)(-1)det(a1,a2,a3)

= -15-5(2x-1)(x+7)

同様に計算して

(**) = 5det[(3x+6)a1+3a2,-4a1+(x+7)a2,a3]

= 5det[(3x+6)a1,(x+7)a2,a3]+5det[3a2,-4a1,a3]

= 5(3x+6)(x+7)det(a1,a2,a3)-60det(a2,a1,a3)
(第2項で1,2列を入れ替えて)
= 5(3x+6)(x+7)det(a1,a2,a3)+60det(a1,a2,a3)

= 5(3x+6)(x+7)+60

従って

与式 = -15-5(2x-1)(x+7)+5(3x+6)(x+7)+60

= 5(x+7)^2+45

これが最小となるのは x=-7 で最小値は 45

  • 質問者

    tak********さん

    2017/11/2523:02:08

    ご丁寧に教えていただきありがとうございました!!
    大変分かりやすく理解できました!

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