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中学受験の算数の応用問題です。 詳細な解説お願いします。 台形ABCDが...

for********さん

2017/12/611:28:44

中学受験の算数の応用問題です。

詳細な解説お願いします。

台形ABCDがあります。

図形の左上を点A
図形の左下を点B
図形の右下を点C
図形の右上を点D
とします。

上底の長さをAD=a
下底の長さをBC=b
とします。

上底の長さのほうが、下底の長さより短いとします。
a<b

ここで、CDの間に点Eをとります。

そこで、問題です。

四角形ABEDと△BCEが面積が一緒のとき、
DE:CE=(b-a):(a+b)
となることを説明してください。

よろしくお願いいたします。

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カテゴリマスター

Okonomimuraさん

2017/12/620:28:53

台形ABCDの高さを4とすると、
△ABD=a×4÷2=2a
△BCD=b×4÷2=2b
△BCEは台形の面積の半分だから、(2a+2b)/2=a+b
ここで、△BEDの面積をcとすると、
△BCD=2b-cだから
2b-c=a+b
c=2b-a-b=b-a
DE:CE=△BED:△BECだから
DE:CE=c:2b-c=b-a:2b-(b-a)=b-a:2b-b+a=b-a:a+b

質問した人からのコメント

2017/12/12 12:36:25

いろいろなアイデアありがとうございます。

ほかの人たちも、ご協力ありがとうございます。

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さん

2017/12/617:36:20

(四角形ABEDの面積)+(三角形BCEの面積)=(台形ABCDの面積)
(四角形ABEDの面積)=(三角形BCEの面積)
なので(三角形BCEの面積)=(台形ABCD)÷2

台形ABCの高さを仮に1とおくと
面積は(a+b)/2と表せるので
(三角形BCEの面積)=(a+b)/4

BCを底辺としたときの
三角形BCEの高さは
(a+b)/4×2÷b=(a+b)/2b

次にDからBCにおろした垂線の足をF
EからBCにおろした垂線の足をGとすると

三角形CEGと三角形CDFは 2角が等しいので
相似となっている

その比は
DF:EG=1:(a+b)/2b
=2b:(a+b)
となる

従って DE:EC=2b-(a+b):(a+b)=(b-a):(a+b)

in_********さん

2017/12/612:08:24

三角形ABDの面積を2aとすると、高さが等しく底辺がb/a倍の三角形BCDの面積は2bとなります。
BEで台形の面積が2等分されるから、三角形BCEの面積は(2a+2b)/2=a+bとなり、三角形BEDの面積は2b-(a+b)=b-aとなります。
三角形BEDと三角形BCEは高さが等しく、面積の比が(b-a):(a+b)だから、DE:CE=(b-a):(a+b)となります。

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