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代数学の問題です。

chi********さん

2017/12/2600:10:46

代数学の問題です。

拡大L/KにおいてK上代数的な元a∈Lが存在する時
[K(a):K]=deg f
fはaのK上の最小多項式 K(a)はKにaを加えた単純拡大

この定理の証明でわからないところがあります。
証明
K(a)はaに関するK係数の有理式
g(a)/h(a) (g(x),h(x)∈K[x])
全体の集合である。fは既約なので(f,h)=1であり
ユークリッドの互除法によって
pf+qh=1となるp,q∈K[x]が存在する
f(a)=0よりx=aを代入して
q(a)h(a)=1である すなわちq(a)=1/h(a)
さらに
f(a)=a^n+c_1a^(n-1)+…+c_n=0
の形をしているので
##
a^m(m≧n)の形の式はda^m(m<n,d∈K)の形に置き換えることができる。したがってK(a)の任意の元は
c_0+c_1a+…c_(n-1)a^(n-1) (c_i∈K)
の形である
またこの表現の一意性もn=deg fであることからわかる。
##
よって1,a,…a^(n-1)がK(a)の基底となり定理が成り立つ

わからないところは##で囲まれた所です。
a^m(m≧n)が置き換えられるところと表現の一意性が〜の部分がよくわかんないです。

補足前半の疑問は解決したので後半の一意性の説明をお願いしたいです。

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ベストアンサーに選ばれた回答

あれれさん

2017/12/2600:22:33

もし2つの表現ができたと仮定したら
差を取ると、aを解とする、aの最小多項式より次数が小さい方程式ができるので矛盾します

質問した人からのコメント

2017/12/26 00:42:03

たしかに差を取ると矛盾しますね。
アドバイスありがとうございます

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