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n ! が持つ素因数 p の数を f(n) とする (1) f(a・p^n + b) を f(a・p^n) と f(...

bqbsg659さん

2017/12/2701:12:00

n ! が持つ素因数 p の数を f(n) とする

(1) f(a・p^n + b) を f(a・p^n) と f(b) を用いて表してください。

(0 < b < p^n)

(2) f(a・p^n - b) を f(a・p^n) と f(b) を用いて表してください。
(0 < b < p^n)

(3) f(a・p^n) を f(p^n) と f(a) を用いて表してください。

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2017/12/2718:17:13

a・p^n + b≡-a・p^n + b≡b(mod p^n) より

(a・p^n +1、a・p^n +2、・・・、a・p^n + b)と(1,2,・・・,b)に含まれるpの因子の数は等しい
よって
f(a・p^n + b) = f(a・p^n) + f(b)・・・①

(a・p^n -1、a・p^n -2、・・・、a・p^n - b+1)と(1,2,・・・,b-1)に含まれるpの因子の数は等しい
よって
f(a・p^n - b) = f(a・p^n-1) - f(b-1)・・・②

1からa・p^nまでに含まれるpの因子の数を数えるただしpの因子がn個以上含まれるときはn個とすると
pの因子はa・f(p^n)
1からa・p^nまでの数をp^nで割って割り切れた商のみ並べると1,2,・・・,a
この中に含まれるpの因子はf(a)
よって
f(a・p^n)=a・ f(p^n) +f(a)・・・③

ちなみにp進法によれば
(N-各桁の和)/(p-1)がpの因子の数となり
繰り上がり、繰り下がり計算がないので
①と②はほぼ自明だと思います。

  • 質問者

    bqbsg659さん

    2017/12/2722:56:31

    ありがとうございます。

    ② は勘違いしていました。
    f(a・p^n - b)
    = f(a・p^n) - f(b) - n + (b が 3 で割り切れる回数)
    ということですね。
    最後の項を見落としていました。

    ① は自明ですが、逆に、p 進数の公式をこちらから求めることもできるのが、私にとっては面白かったです。
    n > m > k
    0 < a, b, c < p として、
    f(a・p^n + b・p^m + c・p^k)
    = f(a・p^n) + f(b・p^m) + f(c・p^k)
    = a・f(p^n) + b・f(p^m) + c・f(p^k)
    = {a・p^n+b・p^m+c・p^k - a - b - c)/(p-1)

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質問した人からのコメント

2017/12/29 10:53:23

勘違いしていた部分が訂正出来て、
質問したかいがありました。
的確な解答ありがとうございました。

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