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答えは一般項が1/(2n-1)(2n+1)

kik********さん

2018/1/413:36:39

答えは一般項が1/(2n-1)(2n+1)

和がn/2n+1
解き方が分からないので教えてください。

1 n-1,解き方,一般項,1 3 5 7,答え,3 5 7 9,分母

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das********さん

2018/1/414:05:50

分母だけ見ると
1・3
3・5
5・7
7・9

左側は1,3,5,7 と奇数が並んでいるので、第n項目は(2n-1)
右側は3,5,7,9 と奇数(3から)が並んでいるので、第n項目は(2n+1)
それらが掛け合わされて分母になっているので、この数列の一般項は 1/(2n-1)(2n+1) となります。

一般項を部分分数分解すると(都合により変数をkにしています)
1/(2k-1)(2k+1) = (1/2)(1/(2k-1)-1/(2k+1))

k=1の時 (1/2)(1/1-1/3)
k=2の時 (1/2)(1/3-1/5)
k=3の時 (1/2)(1/5-1/7)
k=4の時 (1/2)(1/7-1/9)
...
k=n-1の時 (1/2)(1/(2(n-1)-1)-1/(2(n-1)+1))
= (1/2)(1/(2n-3)-1/(2n-1)
k=nの時 (1/2)(1/(2n-1)-1/(2n+1))

これを全部足すと、
-1/3と1/3が0になって消える
-1/5と1/5が0になって消える
-1/7と1/7が0になって消える
...
-1/(2n-1)と1/(2n-1)が0になって消える
と順次相殺されていき、最初の1/1と、最後の-1/(2n+1) だけが残るので、第n項までの和は
(1/2)(1/1 - 1/(2n+1))
と表せます。
あとはこれを整理すると
= (1/2)((2n+1) - 1)/(2n+1)
= (1/2)(2n)/(2n+1)
= n/(2n+1)
となります。

Σを使って書く場合
Σ[k=1,n]1/(2k-1)(2k+1)
= Σ[k=1,n](1/2)(1/(2k-1)-1/(2k+1))
= (1/2)(Σ[k=1,n]1/(2k-1) - Σ[k=1,n]1/(2k+1))
= (1/2)(1/1 + Σ[k=2,n]1/(2k-1) - Σ[k=1,n-1]1/(2k+1) - 1/(2n+1))
= (1/2)(1/1 + Σ[k=1,n-1]1/(2(k+1)-1) - Σ[k=1,n-1]1/(2k+1) - 1/(2n+1))
= (1/2)(1/1 + Σ[k=1,n-1]1/(2k+1) - Σ[k=1,n-1]1/(2k+1) - 1/(2n+1))
= (1/2)(1/1 - 1/(2n+1))
あとは同じです。

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