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写像の証明

glw********さん

2018/1/1913:35:52

写像の証明

関数 f:X→Yに対して
①B⊂Yのとき、f(f^-1(B))=B∩f(X)
②A⊂X,B⊂Yのとき、f(A∩f^-1(B))=f(A)∩B
これらを示したいです。
よろしくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

2018/1/1921:39:09


まず、 y を f(f^(-1)(B)) の任意の元とすると
y=f(x)(x∈f^(-1)(B))と表わされます。
ここで、x∈f^(-1)(B) だから
y=f(x)∈B で
x∈X だから
y=f(x)∈f(X) なので
y∈B∩f(X)
したがって、f(F^(-1)(B))⊂B∩f(X)

逆に、 y を B∩f(X) の任意の元とすると
y∈f(X) なので
y=f(x)(x∈X)と表わされます。
すると、f(x)=y∈B なので
x∈f^-1)(B)
よって、y=f(x)∈f(f^(-1)(B))
したがって、f(F^(-1)(B))⊃B∩f(X)

したがって、f(F^(-1)(B))=B∩f(X)



y を f(A∩f^(-1)(B)) の任意の元とすると
y=f(x)(x∈A∩f^(-1((B))と表わされます。
すると、x∈A だから
y=f(x)∈f(A) で
x∈f^(-1)(B) だから
y=f(x)∈B なので
y∈f(A)∩B
したがって、f(A∩f^(-1)(B))⊂f(A)∩B

逆に、y をf(A)∩B の任意の元とすると
y∈f(A) だから
y=f(x)(x∈A)と表わされます。
すると、f(x)=y∈B なので
x∈f^(-1)(B)
よって、x∈A∩f^(-1)(B)
すなわち、y=f(x)=f(A∩f^(-1)(B))
したがって、f(A∩f^(-1)(B))⊃f(A)∩B

したがって、f(A∩f^(-1)(B))=f(A)∩B

質問した人からのコメント

2018/1/20 16:42:52

ありがとうございます!(・_・、)

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