立方体の各頂点を通っていく道順の場合の数図のような立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧ...

2018/3/1709:58:55

立方体の各頂点を通っていく道順の場合の数

図のような立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨがあります。

この立方体の頂点Ａからスタートし、同じ辺を２度通ることなくすべての頂点を通過する道順は何通りあるかという問題を考えています。

私は下記のような地道な方法で考えました。

１：頂点Ａの次はＢ・Ｄ・Ｅのいずれかに来るが、対称性を持っているのでＢに進んだ場合について考え、出た答えを３倍すればよい。

２：Ｂに進んだ場合、さらにそこから同じ上面にあるＣに移動する場合と、下に降りてＦに進む場合の２つに分類される。ただし、これも立方体を転がして見方を変えれば、時計回り・反時計回りの違いはあるものの、本質的には同じことなのでＣに移動した場合について考えて２倍すればよい。

３：Ａ→Ｂ→Ｃと進んだ場合、さらに同じ上面にあるＤに行く場合と、下に降りてＧに進む場合の２つに分類される。前者を甲パターン、後者を乙パターンと呼ぶ。

４：甲パターンはそこから下に降りることが確定し、そこからどちら周りで残りの頂点をつぶすかで２通りがある。乙パターンは最後に上面に残っているＤをゴールにしてたどりつく必要があり、底面を決まった方向に周回して最後に上に上がる１通りしかない。合わせて３通り。

５：３通り×２＝６通り（Ａ→Ｂと進んだ場合の総数）
６通り×３＝１８通り（Ａ→Ｂ・Ａ→Ｄ・Ａ→Ｅの総数）

答え：１８通り

という風になりました。

お尋ねしたいのは

【１】この答えで合っているでしょうか？

【２】このような解き方以外に、もっとスマートなやり方が考えられるでしょうか？

の２点です。どなたかアドバイスがあればぜひ教えて頂きたいと思っております。よろしくお願いします。

立方体,頂点,立方体ABCD-EFGH,上面,甲パターン,道順,質問者

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sis********さん

2018/3/2023:23:38

【1】18通りで合っていると思います。

質問者の考えを見たうえで、自分なりに解釈をしてみました。
簡単にまとめると、例えばABCDとEFGHをそれぞれ1つの面と考えたときに何番目に違う面の頂点に通過することで道順の組み合わせが分かるといった感じでしょうか。

仮に1番目を頂点Aから始まるとして、
A→BとA→Dは同じ意味合いなので2通り。(2番目)
A→→Cのとき、同じ面の頂点を続けて通るか、違う面の頂点を通るかで道順がわかれます。(3番目)
①同じ面の頂点を通った場合、次に違う面の頂点に移動することになります。そしてその面を時計回り、反時計回りでまわるかで2通りになります。
②違う面を通った場合、道順は1つに絞られます。よって1通り。

①②により道順は3×2の６通り。
またABCD、ADHE、ABFEを最初の面にするかで３通り。
合計６×３＝18通り。間違いありません。

【２】質問者は地道な方法で考えたとおっしゃってますが、このやり方が最も数学的でロジックがある解き方だと思います。

ちなみに自分は始め、頂点が８つあるうち、5つ決まれば道順が決まると思ったので3×2×2×2と短絡的に計算してしまいましたが、質問者の手順４にあたる部分で分類して考えなければならないことに気が付きました；；