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pq-4p-4q=-1を解け。という問題で、答えは(p-4)(q-4)=15と書いてあるのですが、こ...

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ID非公開さん

2018/3/2123:11:21

pq-4p-4q=-1を解け。という問題で、答えは(p-4)(q-4)=15と書いてあるのですが、これは何故ですか?

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ベストアンサーに選ばれた回答

yuk********さん

2018/3/2123:39:51

「pq-4p-4q=-1を解け」ではなく、「pq-4p-4q=-1を満たす整数p,qの値の組を求めよ」とかではないですか?以下、後者が正しいとして考えます。

(方針)A、B、Cが整数で、A×B=Cが成り立つとき、AとBはCの約数であることを利用する。

左辺を積の形に直すには、左辺を因数分解できればよいのですが、このままでは因数分解できません。
そこで、の式の形から、左辺は(p-4)(q-4)を展開した式に似ているなあと考えます。ただし、(p-4)(q-4)=pq-4p-4q+16なので、pq-4p-4qに16を足すとよいことがわかります。
したがって
pq-4p-4q=-1の両辺に16を足して
pq-4p-4q+16=15
(p-4)(q-4)=15

ここで、方針のところに書いたように、(p-4)と(q-4)が整数であれば、(p-4)と(q-4)は15の約数であると言えます。
そして、積が15になる2つの整数の組を考えると、複合同順で、
p-4=±1かつq-4=±15、
p-4=±3かつq-4±5、
p-4=±5かつq-4±3、
p-4=±15かつq-4±1
ゆえに
(p,q)=(5,19),(3,-11),(7,9),(1,-1),(9,7),(-1,1),(19,5),(-11,3)
もしp,qが自然数であれば、上記の組から負の数を含むものを除きます。

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質問した人からのコメント

2018/3/22 00:24:57

はい!そうでした!すみません、ありがとうございますm(__)m
他の方もありがとうございますm(__)m

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

ts_********さん

2018/3/2123:23:25

PQ-4P-4Q=-1

PQ-4P-4Q+16=15

(P-4)(Q-4)=15

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