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[高校数学]問題 a,bを定数とする。 2つの関数f(x)=acosx, g(x)=sin2bxについて、...

ten********さん

2018/4/2817:00:03

[高校数学]問題
a,bを定数とする。 2つの関数f(x)=acosx,
g(x)=sin2bxについて、次の各問いに答えよ。
(1) a=1/2,b>0のとき,
0<x<π/2における関数y=f(x)とy=g(x)のグラフの共有点

が4個になるような定数bの値の範囲を求めよ。
(2)a>0,b=1のとき
S(a)=∫[0→π/6] Ⅰf(x)-g(x)Ⅰdxを求めよ。

この問題の解答を教えて下さい。
よろしくお願い致します。

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ren********さん

2018/4/2919:41:43


sinxの周期は2πより、g(x)=sin2bxの周期は(2π/2b)=(π/b)となる。また、g(x)の最大値は1

f(x)=1/2cosx の周期は2π、最大値は1/2
0<x<π/2より、f(x)は0<f(x)< 1
f(x)が1/4周期のときf(x)と4点で交わるには、g(x)は0<x<π/2の範囲で3/2周期だけ入っていればよい。よって、
(π/b)*3/2<π/2<(π/b)*2
これを解いて
3<b<4


f(x)とg(x)の連立方程式を解くと
sinx=a/2,cosx=0(x=π/2)
(l)
0<a<1のときf(x)とg(x)の交点のx座標をtと置く。sint=a/2より0<t<π/6また、
0<x<tでf(x)>g(x),t<=x<=π/6でg(x)>f(x)、これより
S(a)=∫[0→π/6] Ⅰf(x)-g(x)Ⅰdx
= ∫[0→t] (f(x)g(x))dx
+∫[0→π/6] -(f(x)-g(x))dx

=2asint+cos2t-a/2+1/2
sint=a/2よりcos2t=1-2sin^2t=1-a^2/2
これらを代入して
S(a)=1/2(a^2-a+3)

(ll)
1<=aのとき、sint=a/2よりπ/6<=t
0<=x<=π/6でf(x)>g(x)だから

S(a)=∫[0→π/6] Ⅰf(x)-g(x)Ⅰdx
=∫[0→π/6] (f(x)-g(x))dx
=1/2(a-1)

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