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位数15の群Gが巡回群Z/15Zと同型になるということを証明したいのですが、Gのシロー...

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ID非公開さん

2018/4/2520:56:27

位数15の群Gが巡回群Z/15Zと同型になるということを証明したいのですが、Gのシロー3部分群とシロー5部分群の個数はそれぞれただ一つであることまではシローの定理から分かるのですが、その先どう証明すればいいです

か?極力丁寧に教えてください。

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mat********さん

2018/4/2910:01:00

シロー3部分群H, シロー5部分群Kはともに巡回群
H =Z/3Z, K = Z/5Z
で, 唯一つであることから正規部分群.

HのKへの共役作用は準同型
H \to Aut(K)
を引き起こす.
Hの位数は3, Aut(K)= Aut(Z/5Z) の位数は4 (5と互いに素な数は4こ)だから、この準同型は自明.
したがってHとKは可換.

したがって, 群準同型
H × K \to G
が存在する.
この像はH, Kを共に含む部分群だからGに一致するので全射.
両辺の位数を比較すれば単射。
したがって同型である.
ゆえに
Z/15Z = Z/3Z ×Z/5Z = H×K = G.

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