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座標平面上に2点A(0,3)、B(√3,2)を通る円k:x²+y²+ax+by-3=0がある。ただし、a, bは...

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ID非公開さん

2018/6/1000:43:03

座標平面上に2点A(0,3)、B(√3,2)を通る円k:x²+y²+ax+by-3=0がある。ただし、a, bは定数とする。

(1)a,bの値を求めよ
(2)円Kの中心の座標と半径を求めよ。また、点Bにおける円Kの接線lの方程式
を求めよ。
(3)点C(√2,5-√2)とし、(2)の接線lとy軸の交点をDとする。円K上を点Pが動くとき、△CDPの面積の最小値とそのときの点Pの座標を求めよ。

(1)a=0,b=-2
(2)円Kの中心の座標(0,1),半径2
接線lの方程式:y=-√3x+5
ここまでは簡単に解けました。

(3)
〔解〕
Dの座標は(0,5)
直線CDの方程式はx+y-5=0
△CDPの面積が最小になるとき,円Kの中心(0,1)と直線CDの距離をhとすると,
(h-(円Kの半径))×1/2CDである。
h=2√2,CD=2
よって,△CDPの最小値は,
(2√2-2)×1/2×2=2√2-2


△CDPの面積の最小値を求めるのはできたのですが,ここからの点Pの座標の求め方が分かりません。
分かる方教えていただければ幸いです。

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回答数:
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ベストアンサーに選ばれた回答

sta********さん

2018/6/1014:34:03

円Kの中心(0,1)をKとして、
直線KPは直線CDと垂直なので
KP:y=x+1 と表せる。
ここで、点Pのx座標を求めると
点Pは円K:x^2+y^2-2x-3=0と直線KPの
x座標が正である方の交点なので、
x^2+(x+1)^2-2(x+1)-3=0
x^2=2 x>0よりx=√2
y=x+1よりy=√2+1
よってP(√2,√2+1)

これでどうでしょうか?

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質問した人からのコメント

2018/6/10 16:18:53

回答してくださった方ありがとうございました。
理解することができました。

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alp********さん

2018/6/1004:37:22

(3)

C(√2, 5-√2)
D(0,5)

P (2cosθ, 2sinθ + 1) とおく

DC↑ = (√2, - √2)
DP↑ = (2cosθ, 2sinθ - 4)

△CDP の面積
= (1/2)*| (√2)*(2sinθ - 4) - (-√2)*(2cosθ) |
= (√2) | sinθ ー2 + cosθ|
= (√2) | (√2)sin{θ+(π/4)} ー 2 |
= 2 | sin{θ+(π/4) } ー √2 |

θ + (π/4) = π /2
すなわち θ = π/4 のとき
△CDPの面積は最小値 (2√2) - 2
をとる。
このとき
P (√2, (√2) + 1 )

2018/6/1003:35:39

図を参照してください。

円の中心(0,1)を通り、直線CDと垂直な直線【y=x+1】と
円の交点のうち、直線CDに近い方が、P(√2,1+√2)となります。

図を参照してください。

円の中心(0,1)を通り、直線CDと垂直な直線【y=x+1】と...

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