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お世話になっております。

miy********さん

2018/6/1820:59:42

お世話になっております。

先日、積分の質問をしたものです。
アドバイスのおかげで、なんとか自力でも導出できるようになりました。
ただ一点、私の転記ミスで元の式が間違っているところがありまして、
本来の式で導出すると、教えて頂いた分数の分母にならないことがわかりました。
御手数ですが、再度教えていただけないでしょうか。
φの部分の積分も、私が導出すると変になってしまいまして……
お力をお借りできたら幸いです。
よろしくお願い致します。

積分,御手数,分母,転記ミス,分数,sin,偶関数

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ベストアンサーに選ばれた回答

oke********さん

2018/6/1916:29:59

ほとんど同じですが,前の回答が少し間違っていました。

cosθ=tとおくと,dt = -sinθdθ
積分範囲はθ: 0→πからt : 1→-1
よって,
∫[0→π] sinθ/(1 - cosθ+2β)² dθ
= ∫[1→-1] -1/(1 - t +2β)² dt = ∫[-1→1] 1/(1 - t +2β)² dt

ここで,前は偶関数と見ていましたが,そうではありませんでした。
よって,そのまま積分して

= [1/(1 +2β - t) ][-1→1]
= 1/(2β) - 1/(2 + 2β)
= (1/2){1/β - 1/(1 +β)}
= (1/2)・1/{β(1 +β)}

φでの積分は
∫[0→2π] ∫[0→π] sinθ/(1 - cosθ+2β)² dθdφ
= ∫[0→2π] (1/2)・1/{β(1 +β)} dφ

(1/2)・1/{β(1 +β)} はφに関して定数なので外に出せます。

= (1/2)・1/{β(1 +β)} ∫[0→2π] dφ
= (1/2)・1/{β(1 +β)}・2π
= π/{β(1 +β)}

質問した人からのコメント

2018/6/19 19:40:54

最初tにおいて積分する場合は、tの奇数乗を含む分母になるため奇関数として捉えるという認識でよろしいでしょうか?

なんにせよ、ここまで丁寧に教えていただき、ありがとうございます。

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