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この問題教えてください!

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ID非公開さん

2018/8/117:00:03

この問題教えてください!

次の関数項級数が指定された次の区間Iで一様収束、または広義一様収束するかどうか調べよ。
∑[0,∞](n!/n^n)x^n、I=(−e,e)

自分でやってみた方法は|x|<R<eとなるRをとって、Mn=(n!/n^n)R^nとしてダランベールの判定法より∑Mnが収束するから広義一様収束するまでは分かったのですが一様収束するかどうかが分かりません。

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ベストアンサーに選ばれた回答

fra********さん

2018/8/205:29:16

級数が一様収束すれば第n項は一様に0に収束することになります。即ち

sup_{|x|<e} (n!/n^n)x^n → 0 (n → ∞)

です。しかし

sup_{|x|<e} (n!/n^n)x^n ≧ (n!/n^n)e^n > 1・・・(*)

なので、この級数は一様収束はしません。

############
(*)の証明は

e^x = Σ_k x^k/k! ≧ x^n/n! (∀x>0, ∀n)

より。

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質問した人からのコメント

2018/8/2 10:54:25

ありがとうございました!

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