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n-1ΣK=1(2のK乗-Kの2乗)の和の求め方を教えてください。

mti********さん

2018/7/2717:14:56

n-1ΣK=1(2のK乗-Kの2乗)の和の求め方を教えてください。

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ベストアンサーに選ばれた回答

das********さん

2018/7/2717:22:35

Σの中の足し算、引き算は分割できるので
Σ[k=1, n-1] (2^k - k^2)
= Σ[k=1, n-1] 2^k - Σ[k=1, n-1] k^2

Σ[k=1, n-1] 2^k は、初項2、項数n-1、公比2の等比数列の和なので、
Σ[k=1, n-1] 2^k = 2(1-2^(n-1))/(1-2) = 2^n - 2

Σ[k=1, n-1] k^2 は、二乗和の公式を使って
Σ[k=1, n-1] k^2 = (n-1)n(2(n-1)+1)/6
= n(n-1)(2n-1)/6

以上から、
Σ[k=1, n-1] (2^k - k^2)
= 2^n - 2 - n(n-1)(2n-1)/6
となります。

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