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鉛直面xy内に原点Oを通過する曲線Sがあり、その上に質点(質量m)を置いた時、質点は...

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ID非公開さん

2018/8/2312:00:04

鉛直面xy内に原点Oを通過する曲線Sがあり、その上に質点(質量m)を置いた時、質点は重力より曲線Sから抗力を受ける。水平方向をx軸、鉛直上向き方向をy軸、重力加速度をgとし、-y軸方向とする。時間tとし図1のようにt

=0の時、質点は原点Oからx軸方向に速さv0(>0)で出発する。

曲線Sを中心(0,- a),半径aの円で与える。

(問1)位置(x,y)における質点の速さvを求めよ。

(問2)曲線Sの法線方向に関する質点の運動方程式から導出できる抗力Nをv0,m,a,g,yを使って表せ。

鉛直面xy内において、原点Oを通過する任意の滑らかな曲線S上を動く質点について考える。

(問3)原点Oから曲線Sに沿った距離をs、曲線上の微小区間をds、質点位置でのx軸と曲線とのなす角をθ(反時計回りを正)とする。この時、dx/ds,dy/dsをθにより表せ。

(問4)xとy方向の運動方程式をそれぞれ示せ。ここで、曲線上の質点が受ける抗力の大きさをN1とする。

(問5)ds,dx/ds,dy/ds,d^2x/ds^2,d^2y/ds^2をy,x,dx,dy,dy/dxのうち必要なものを使って表せ。

(問6)抗力N1をv0, m ,g, x, y, dx, dy, dy/dx, d^2y/dx^2のうち必要なものを使って表せ。

(問7)(問6)で得られた抗力N1は、問2において曲線Sを中心(0、-a)、半径aの円で与えた時の抗力Nに一致することを示せ。

曲線Sをy=1-cosh(x)で与える。

(問8)この時、原点Oからx軸方向に速さv0で出発した質点が曲線から離れる条件とその時のxの値を求めよ。


物理の力学の院試問題です。途中から全く分からず、困っています。
途中まででも良いので解法をお伺いしたいです。
宜しくお願いします。

質点,x軸,y x dx dy dy,抗力N1,v0 m a g y,mgsinh,cosh

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bib********さん

2018/8/2315:47:13

(1)エネルギー保存則より、
(1/2)mv[0]^{2}+mg|y|=(1/2)mv^{2}
したがって、
v=√(v[0]^{2}+2g|y|)

(2)
曲線Sの法線方向(円の中心方向)に関する質点の運動方程式は、
mv^{2}/a=mgcosθ-N
ただし、θは、中心A(0,- a), 質点Pが現在存在する位置Pとすると、
θ=∠OAPである。
すると、cosθ=(a-|y|)/a
なので、v=√(mv[0]^{2}+2mg|y|)
を質点の運動方程式に代入して整理すると、
N=m(g-(v[0]^{2}/a)-3g(|y|/a))
となる。

(3)
x=asinθ, y=acosθ-a
を満たし、s=aθの関係がある。
したがって、
x=asin(s/a), y=acos(s/a)-a
となる。
dx/ds=cos(s/a)=cosθ, dy/ds=-sin(s/a)=-sinθ
となる。

(4)
md^{2}x/dt^{2}=N[1]cos((π/2)-θ)=N[1]sinθ
md^{2}y/dt^{2}=N[1]sin((π/2)-θ)-mg=N[1]cosθ-mg

(5)
ds=√((dx)^{2}+(dy)^{2})
dx/ds=cosθ=(a+y)/a
dy/ds=-sinθ=-(x/a)
d^2x/ds^2=-asinθ=x
d^2y/ds^2=-acosθ=-(a+y)

(6)
(4)より、sinθ=(1/N[1])md^{2}x/dt^{2}
cosθ=(1/N[1])(md^{2}y/dt^{2} +mg)
θを消去すると、
N[1]=m√((d^{2}x/dt^{2})^{2}+(d^{2}y/dt^{2} +g)^{2})
となる。
合成関数の微分法から
d^{2}x/dt^{2}
=((d^{y}/dt^{2})(dy/dx)-(dx/dt)(dy/dt)(d^{2}y/dx^{2}))/(dy/dx)^{2}

d^{2}y/dt^{2}
=(d^{2}x/dt^{2})(dy/dx)+(dx/dt)^{2}(d^{2}y/dx^{2})
となる。

これからうまくtを消せばできるはずです。

(7)は省略。

(8)
曲線Sが一般論で表される時、
P(x,y)に置けるポテンシャルUを考えます。
U=mgy=mg(1-cosh(x))
ただし、x'=dx/dt, y'=dy/dtである。
x方向に置ける力F[x]は、
F[x]=-∂U/∂x=-mgsinh(x)
y方向に置ける力F[y]は、
F[y]=-∂U/∂y=-mg
となる。

一方で、y=1-cosh(x)なので、
dy/dt=-(dx/dt)sinh(x)
d^{2}y/dt^{2]=-((d^{2}x/dt^{2})sinh(x)+(dx/dt)^{2}cosh(x))
となる。
したがって、
md^{2}x/dt^{2}=-mgsinh(x)
md^{2}y/dt^{2}=-mg
なので、
dx/dt=√(g((sinh(x))^{2}-1)/cosh(x))
となる。
Nの方向ベクトルは、(-dy/dt, dx/dt)である。
Nの大きさは、
N=k√((-dy/dt)^{2}+(dx/dt)^{2})
=k(sinh(x)-1)√(g/cosh(x))
となる。
ここで、(x, y)=(0, 0)の時、
N=-mgなので、
-mg=-k√g
したがって、k=m√g
つまり、
N=mg(sinh(x)-1)√(1/cosh(x))
となる。
曲線から離れる時、N=0なので、
sinh(x)=1
したがって、
x=log(√2 +1)のとき、
離れる。

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