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ユークリッド空間について。

tlm********さん

2018/9/1918:33:43

ユークリッド空間について。

n次元ユークリッド空間の説明として位相の本では「R^nにユークリッド距離を入れたもの」と書かれ、線形代数の本では「R^nに標準内積(とノルム)を定義したもの」と書かれていてどちらが正しいのかわからないのですが、位相や距離において議論する際は、内積やノルムを出す必要がないから単純な構造のみを取り出してユークリッド空間と言っているのでしょうか?
また、線形代数の本で「R^nに標準内積を定義したもの」とあるので、「ユークリッド空間は内積空間」なのかと思っていましたが、Weylの公理?なんかを見ると「内積空間としてのR^nと点集合としてのR^nの組で、点集合としてのR^nの2元x,yに対して内積空間としてのR^nのベクトルxy(=y-x)を対応させたもの」というような感じで、どうやらユークリッド空間自体は内積空間ではないようなのですが、それならば誤解の生じないように厳密に書くべきではないのでしょうか?(少し見たところ、齋藤先生や佐武先生の教科書には巻末に載っていましたが...)

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ベストアンサーに選ばれた回答

yaj********さん

2018/9/2009:26:14

わたしにはこだわりすぎに感じる。つまり位相の本ではベクトル空間の
構造はあまり問題でないので内積からはいる距離を中心にふれ、
線型代数では位相より、ベクトル空間の方が中心なので内積を中心
に説明する。同じものを重点をかえて説明しているだけにみえる。

質問した人からのコメント

2018/9/24 17:49:58

わかりました。
ありがとうございました。

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sio********さん

2018/9/2009:34:10

数学では、同じ名称(用語)でも、分野によって別のモノを表すことがよくあります。
ユークリッド空間についても、上記を踏まえて割り切ってください。

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カテゴリマスター

mat********さん

2018/9/2007:24:35

ユークリッド距離(ノルム)は、通常内積から誘導されるから、
内積空間と考えれば十分ですね
(あとは必要に応じて、内積から誘導される構造を考えていると思えば良い)

あわせて知りたい

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