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解き方を教えてください

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ID非公開さん

2018/9/2407:25:17

解き方を教えてください

解き方

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suz********さん

2018/9/3013:00:27

(1)

p(4)=1/2

(2)

n個の○の列、○○○.....○の中に、A,B,Cを入れる場合の数を

考える。この問題の場合、最初の○にはB,Cの2通り、次の○には、

最初の○の文字以外の文字が入るから2通り、以下、同様に

それぞれの○には2通りの文字が入るから、

全体の場合の数は2^n通り。

-----

さて、この中でCが2個含まれる場合の数を考える。

(i)...最初がCで最後がCの場合。

残りの(n-2)個の○の中にA,Bをいれる方法は2通り

(ii)...最初がCで最後がCとならない場合。

この時、Cの選び方は3番目の○から、(n-1)番目までの(n-3)個から1個

取り出せば良いから(n-3)通りの場合がある。

その中の1つ1つに対して、残りの○の中にA,Bを入れる方法の数は4通り

だから、この場合は、全部で4*(n-3)通り。

(iii)...最初がBで最後がCの場合。

この時、Cの選び方は2番目の○から、(n-2)番目までの(n-3)個から

1個取り出せば良いから(n-3)通りの場合がある。

その中の1つ1つに対して、残りの○の中にA,Bをいれる方法の数は

2通りだから、この場合は、全部で2*(n-3)通り。

(iv)...最初がBで最後がCとならない場合

この時、Cの選び方は2番目の○から、(n-1)番目の○までの(n-2)個から

2個取り出してそれが連続しない場合だから,

(n-2)C(2)-(n-3)=(n-2)(n-3)/2-(n-3)

=(1/2)(n-3)(n-4)通りの場合がある。

その中の1つ1つに対して、残りの○の中にA,Bをいれる方法の数は4通り

だから、この場合は、全部で4*(1/2)(n-3)(n-4)=2(n-3)(n-4)通り。

よって、

n個の○の中にCが2個含まれる場合の数=(i)+(ii)+(iii)+(iv)

=2(n-2)^2

よって、

p(n)=2(n-2)^2/2^n=(n-2)^2/2^(n-1)


(3)

f(x)=(x-2)^2/2^(x-1)の 連続関数を x≧4を考える。

f'(x)=-log2*(x-2)*2^(n-2){x-(2+2/log2)}

x-(2+2/log2)=0のxの値をαとする。

α=(2+2/log2)>(2+2/loge)=4......①

よって、

f(x)のグラフは、4≦x<αの時、f(x)は増加

x=αの時、最大値をとる。

α>xの時、f(x)は減少

さて、

1<e<4 →1<√e<2 → 0<log√e<log2 →1/log√2>1/log2

→2/log√2>2/log2

よって、

2+2/log√2>2+2/log2

ここで、

2+2/log√e=2+4=6, (2+2/log2)=α

よって、

6>α.......②

①、②より、

6>α>4

よって、

f(n)=(n-2)^2/2^(n-1)は、n=5の時、最大値をとる。

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