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数学の問題についてです。 a.b.c€zが互いに素ならば、それらの和a+bと積abも互...

lhr********さん

2018/10/1510:52:35

数学の問題についてです。

a.b.c€zが互いに素ならば、それらの和a+bと積abも互いに素であることを示せ。

です。
ご回答お願い致します。

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回答数:
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ベストアンサーに選ばれた回答

yaj********さん

2018/10/1511:08:12

対偶をとり

a+bと積abも互いに素でないとき、a.b.c€zが互いに素でないを示す

pがab, a+b を両方わる素数とする、たとえば pがaを割るとする,

b の場合もおなじ、pがをabわるので素数だからどちらかは割れる

a=pc, a+b=pd, c,d ; 整数

b=pd-a=pd-pc=p(d-c), pがa, b とも割るので互いに素でない

質問した人からのコメント

2018/10/15 11:37:27

お二方とも有難うございました!
お陰様で理解することができました。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

a_d********さん

2018/10/1511:07:51

a+bとabの正の公約数をgとおく。
このとき、整数K、Lを用いて
a+b=Kg…①
ab=Lg…②
と書くことができる。

a×①-②より
a^2=(aK-L)g…③
であり、b×①-②より
b^2=(bK-L)g…④
である。

③④より、gはa^2とb^2の正の公約数である。
aとbは互いに素なので、a^2とb^2も互いに素であるから、g=1である。

よって、a+bとabの正の公約数gは1のみなので、これらは互いに素である。

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