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数列{a[n]}は次式によって定義されている。

nf1828さん

2018/11/2021:47:11

数列{a[n]}は次式によって定義されている。

a[1]=1
a[2n]=a[n]+n^2 (n≧1)
a[2n+1]=a[2n]+2n+1 (n≧1)
このときa[n]=n(n+1)/3を満たすnが無数に存在することを
証明してください。

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pro********さん

2018/11/2023:26:47

b[n] = 3a[n]ーn(n+1) (n≧1)

とおくと

b[1] = 3a[1]ー1*2 = 1 ...①

で, n≧1 において

b[2n]
= 3a[2n]ー2n(2n+1)
= 3(a[n]+n^2)ー4n^2ー2n
= 3a[n]ーn(n+1)ーn
= b[n]ーn ...②

b[2n+1]
= 3a[2n+1]ー(2n+1)(2n+2)
= 3(a[2n]+2n+1)ー4n^2ー6nー2
= 3a[2n]ー2n(2n+1)+2n+1
= b[2n]+2n+1 ...③

となる.


ここで,任意の自然数 m に対して

b[2^(m+1)ー2] = 0 ...④

であることを数学的帰納法で示す.

b[2^(1+1)ー2]
= b[2]
= b[1]ー1 (∵ ②)
= 0 (∵ ①)

より, m=1 のとき ④ が成り立つ.

m=k [k:自然数] のときに ④ が成り立つと仮定すると,

b[2^(k+2)ー2]
= b[2^(k+1)ー1]ー(2^(k+1)ー1)
(∵ 2^(k+2)ー2 は偶数, ②)
= b[2^(k+1)ー2]+(2^(k+1)ー1)ー(2^(k+1)ー1)
(∵ 2^(k+1)ー1 は奇数, ③)
= b[2^(k+1)ー2]
= 0 (∵ 帰納法の仮定)

より, m=k+1 のときも ④ が成り立つ.

従って,数学的帰納法より任意の自然数 m で ④ が成り立つ.


以上より, n=2^(m+1)ー2 (m:自然数) で表される自然数 n に対して

a[n] = n(n+1)/3 ...⑤

となるので,特に ⑤ を満たす自然数 n は無数に存在する.

  • 質問者

    nf1828さん

    2018/11/2119:01:46

    ありがとうございます。完璧ですね。

    Excelで調べてみたら
    b[n]=0となるのはn=2^m-2のときに限る
    ようです。これは証明できるでしょうか。

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質問した人からのコメント

2018/11/22 19:30:23

ありがとうございました。

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