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6で割ると5余り、8で割ると7 余るような2桁の自然数はいくつあるか。 途中の解法...

har********さん

2018/12/2623:39:26

6で割ると5余り、8で割ると7
余るような2桁の自然数はいくつあるか。
途中の解法を詳しくお願いします!

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nob********さん

2018/12/2700:15:26

求める2桁の自然数をnとする。
6で割ると5余るので
n=6a+5 (aは整数)
8で割ると7余るので
n=8b+7 (bは整数)
よって、
6a+5=8b+7
6a-8b=2
この方程式の解のうち一つはすぐに分かる。
a=-1,b=-1である(代入すれば分かる)
これを特殊解と呼ぶことにする。

元の式と特殊解を代入したものを並べる。
6a-8b=2
6×(-1)-8×(-1)=2
上式から下式を引くと
6(a+1)-8(b+1)=0
よって両辺を2で割り移項すると
3(a+1)=4(b+1)
右辺は4の倍数なので左辺は4の倍数。
すなわち、a+1は4の倍数。
a+1=4mとおく。
a=4m-1
n=6a+5なので、代入して、
n=6(4m-1)+5
=24m-1

nは2桁の自然数なので、
m=1,2,3,4を代入して、
n=23,47,71,95

******
解説
この類の問題は解き方を覚える必要がある。
まず最初に特殊解を一つ見つける。
特殊解とは無限にある解のうち、どれかひとつ見つけた解のことである。
この場合は、a=-1,b=-1のこと。特殊解はすぐに見つかる場合が多い。

特殊解を見つけると、元の式と特殊解を並べて、上式から下式を引く。今回の場合は、
6a-8b=2
6×(-1)-8×(-1)=2
この上式から下式を引くと
6(a+1)-8(b+1)=0

なぜ上式から下式を引くかといえば、定数部分2を削除するためである。定数部分を削除すれば、aを含む項とbを含む項のみの2項の比較になり、約分の性質が使えるようになる。

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ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

fur********さん

編集あり2018/12/2701:25:58

6で割ると5余る
→6の倍数よりも1少ない
8で割ると7余る
→8の倍数よりも1少ない
なので
6で割ると5余り、8で割ると7余る数は、6と8の公倍数よりも1少ない数になります。
6と8の公倍数は24の倍数なので
24の倍数-1が2桁となっているものは
23, 47, 71, 95の4つ。

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