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次元論とか数学の話です。どなたか教えてください。

que********さん

2019/1/116:56:23

次元論とか数学の話です。どなたか教えてください。

以前どこかで、次元は(計算的には)小数点以下の数字もつく、と聞きました。

確か、雲とかスポンジは3.n次元だとか、フラクタル図形は2.n次元だとか…

では、線で描かれた「円」は計算的には何次元になるのでしょうか?また、そうしたことを学ぶのにはどこから手をつけどの方向へと学習を進めればよいのでしょうか?

新年早々すみません。時間が空いたら浮かんできたのです。

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a68********さん

2019/1/118:05:06

1次元ですね。
円は有限な曲線で描かれるので。

話に出てきているのは「フラクタル次元」と呼ばれるもので、普段僕らが使っている「位相次元」を拡張させたものです。

例えばコッホ図形については(調べてください)、曲線で描かれていますがその長さについては図形中のどの2点間の弧長を測っても無限大であり、これを円と同じ次元と定義すると色々と不都合があります。
例えば、コッホ図形のようなものを除けば任意の1次元図形について成り立つ定理があり、コッホ図形の次元が1出ないとした方が良いとか。
しかし、コッホ図形を2次元とするのは明らかに直感に反しています。
そこで、このような図形の次元Dが1<D<2となるような次元を新たに定めたのが「フラクタル次元」です。(実際、コッホ図形のフラクタル次元はD=1.2・・・です)
これは主にカオス系の理論で出てくる話題であり、大学数学であれば位相空間論→実・複素解析→カオス力学→フラクタルと進むと良いでしょう。
ただ、それなりにニッチな分野なのでフラクタルに関する日本語の専門書(啓蒙書の類は除く)はそれほど多くないです。

  • a68********さん

    2019/1/122:04:26

    上の人と回答がかち合ってしまったので補足を。
    円内部の領域を考えるなら2次元で円周を考えるなら1次元です。
    「球は3次元だけど球面は2次元」ってのと同じ感じです。
    上の人が言っているのは「位相次元」のことで、これは必ず整数になりますがフラクタル次元は整数を取るとは限りません。

    フラクタルでなければ位相次元とフラクタル次元は一致します。(というかこの2つの次元が一致しないことがフラクタルの定義です)

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質問した人からのコメント

2019/1/2 02:15:31

ありがとうございました。
他の方の答えと合わせ、私の理解力の問題はあるとしても、すっきり腑に落ち、大変助かりました。

位相次元とフラクタル次元の関係は、正整数次元では一致したものになること、前者が後者に内包されていること、また、後者は論理的な前提の下にある、ということなのかな?くらいしか理解できていませんが、もう少しまたべんきょうしてみようと思います。

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eas********さん

2019/1/118:45:00

1次元の線で描かれた円は2次元に成りますね。
<次元は(計算的には)小数点以下の数字もつく、と聞きました。>
此れはあり得ません。
1次元・2次元・3次元・4次元・は存在しますが、1.5次元などは存在しませんでしょう。
更に次元とは自然科学において、物理量の自由度として考えられる要素の度合いを言います。
物理的単位の種類を記述するのに用いられ、 物理量を・質量・長さ・時間・などで区別するのに用いられています。
簡単な次元式
(¥/KWHr)xKWHr=¥
これは電気料金の計算式(分母のKWHrが消されて¥だけ残ります)。
電気利用金の単価(¥/KWHr)に電力使用量(KWHr)を掛ければ電気料金に成りますね。
という事で物理数を示す計算式はこの次元式が成り立たない式は無意味な式に成りますね。

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