ここから本文です

教えてください! Q お客と胴元が、次のような賭けを行う。 1.双方が1円ずつだす...

sae********さん

2019/1/311:33:29

教えてください!
Q お客と胴元が、次のような賭けを行う。
1.双方が1円ずつだす
2.お客がさいころを振って、3以上の目が出
たら胴元の勝ちで、それ以外の目が出たら
お客の勝ちとする


3.勝った方が全額(2円)を自分のものにする。

最初の所持金はお客がm円、胴元はn円とする。この賭けを所持金がなくなるまで続けるとき、最終的にお客が勝つ確率を次のように求める。

k円持っている人が最終的に勝つ確率をPkとし、Pkの漸化式を作ってお客の勝つ確率を求める。k円持っていて最終的に勝つのは、次の勝負に勝って所持金が[ k+1]円になり最終的に勝つか、または次の勝負に負けて所持金が[k-1]円になり最終的に勝つかである。1回の勝負でお客勝つ確率は
[1/3]、負ける確率は[2/3]であるから、次の漸化式を得る。

漸化式:pk= [① ]
これを整理すると
式:[ ② ]となる。
この式のPk+1,pkをt2,t,1で置き換えて得られる特性方程式[ ③ ]=0の解は
t=[ ④ ],[ ⑤ ]であるから
Pk=cx[ ⑥ ]+Dx[ ⑦ ]と表せる。
ただし、C、Dは定数である。po=[⑧]かつPm+n=[ ⑨ ]であるから、C、Dの値は次のようになる。
よって、C=[(10)]/[(11)]かつD=[(12)]/[(13)]
よって、pk=[(14)]/[(15)]である。

お客は最初m円持っていたので、お客の勝つ確率PmはPm=[(16)]/[(17)]となる。

閲覧数:
34
回答数:
1
お礼:
100枚

違反報告

ベストアンサーに選ばれた回答

ii_********さん

2019/1/815:26:58

漸化式 Pk=1/3・Pk+1 + 2/3・Pk-1
整理して Pk+1 -3Pk +2Pk-1=0
特性方程式 t^2 -3t +2 =0, t=2, 1
Pk=C・2^k + D

P0=0, Pm+n=1 を代入して
C=1/{2^(m+n)-1}
D=-1/{2^(m+n)-1}

よってPk=(2^k-1)/{2^(m+n)-1}
Pm=(2^m-1)/{2^(m+n)-1}

(検算)
m=0,n≠0でP=0
m≠0,n=0でP=1
m=n=1でP=(2^1-1)/(2^(1+1)-1)=1/3
で合っているようです。

この回答は投票によってベストアンサーに選ばれました!

あわせて知りたい

この質問につけられたタグ

みんなで作る知恵袋 悩みや疑問、なんでも気軽にきいちゃおう!

Q&Aをキーワードで検索:

Yahoo! JAPANは、回答に記載された内容の信ぴょう性、正確性を保証しておりません。
お客様自身の責任と判断で、ご利用ください。
本文はここまでです このページの先頭へ

「追加する」ボタンを押してください。

閉じる

※知恵コレクションに追加された質問は選択されたID/ニックネームのMy知恵袋で確認できます。

不適切な投稿でないことを報告しました。

閉じる