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なぜ、虚数には大小がないのですか? そもそも大小の定義とはなんなのでしょうか?

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ID非公開さん

2019/1/520:06:55

なぜ、虚数には大小がないのですか?
そもそも大小の定義とはなんなのでしょうか?

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got********さん

2019/1/600:48:48

不等式に関する基本的な性質が成り立たなくなるからです。

iと0に関する大小関係について、
次の3つのうちのどれかひとつが成り立つはずです。
(1) i=0
(2) i>0
(3) i<0

このうち、(1)は成り立たないとして良いでしょう。

(2)が成り立つとすると、
i>0。
iは0より大きいですから正の数です。
この両辺に正の数であるiを掛けます。
正の数を掛けるので、不等号の向きは変わらないはずですが、
i×i>0×i、
ー1>0
となって、間違った式が出てきます。

(3)が成り立つとすると、
i<0。
iは0より小さいですから負の数です。
この両辺に負の数であるiを掛けます。
負の数を掛けるので、不等号の向きは逆になるはずですが、
i×i>0×i、
−1>0
となって、間違った式が出てきます。

このように、iと0との大小関係があると仮定しただけで
通常どおりに成り立ってほしい性質が成り立たなくなります。
これでは計算する上でいろいろと不都合です。

このようなわけで、
複素数の間には大小関係が考えられないのです。

実数の大小関係の性質としては
a≦a(反射律)
a≦b, b≦a ならば a=b(反対称律)
a≦b, b≦c ならば a≦c(推移律)
a≦b または b≦a の少なくとも一方が成り立つ(全順序性)
a≦b ならば a+c≦b+c
a≧0, b≧0 ならば ab≧0
があります。

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fuz********さん

2019/1/521:36:46

大小の定義が明確にあるわけでは無いですが、確実に言える事は、
大小とは大きさという概念による順序比較の方法の事であり、大きさの定義は対象毎に異なります。

この事から一般に、
次の二つの考え方ができます。

一つの考え方としては、
絶対値を大きさと考えれば大小は定まります。

もう一つの考え方として、
大小比較の時に、異なる複素数なら大小も異なる事を要請する場合があります。
この場合の大小は、
複素数を1列に並べる自然な方法を唯一つ与えるのと同じです。
この場合、
複素数は複素平面上の点と等価ですから、平面上の点を1列に並べる自然な方法が唯一つに定まらない事から複素数に大小は定まりません。

実は数学的には、
後者の要請を満たす比較方法のみを順序比較と考えます。

結論として、
絶対値は確かに大きさを表しますが、絶対値による比較は順序比較の基準を満たさないので、複素数に大小はありません。


(蛇足:反射律、推移律、反対称律を満たす二項関係を順序関係と呼ぶ。大きさから順序関係を定める事を大小を定義する事と考えれば、絶対値は反対称律を満たさないので順序関係でない。)

k02********さん

2019/1/520:11:50

昔から
i(あい)に大小がないのです。

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