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コンデンサーのキャパシタンスの計算に関する質問です。 テキストなどには、並行...

gun********さん

2019/1/2214:09:17

コンデンサーのキャパシタンスの計算に関する質問です。
テキストなどには、並行平板、同心円筒、同心球殻のコンデンサの静電容量の計算式はよく解説されています。

並行平板に誘電体が部分的に挿入されているとき、二つのコンデンサが直列または並列に接続されていると置き換えて計算できることは知ってるのですが、これが同心円筒、同心球殻になるとどうなるのでしょうか。
並行平板とは違い、中心点からの距離がひらくにつれて電界が変化するので、安易に直列、並列接続のコンデンサとしてみなすことはできないと思うのですがどうでしょうか。

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ryu********さん

2019/1/2216:21:27

同心円筒、同心球殻であっても並列接続的に横方向に挿入されているときは並列接続の計算で構いません。

しかし、おっしゃるように中心点からの距離によって電界は変化しますので直列的に挿入、すなわち電界方向に縦に挿入されているときにはそれなりの配慮した計算が必要になります。一例として、同心円筒で内円筒半径a、外円筒内半径b、aからcまで比誘電率εrの誘電体を挿入した場合を考えてみましょう。軸方向は単位長で考えます。
D=λ/(2π・r)
ですから、
a<r<c で E1=λ/(2πεrεo・r)
c<r<b で E2=λ/(2πεo・r)
電極間電位差Vは直列的で
V=-∫[a←c]E1dr-∫[c←b]E2dr
={λ/(2πεo)}{ln(b/c)+(1/εr)ln(c/a)}
となり、結局静電容量Cは
C=λ/V=(2πεo)/{ln(b/c)+(1/εr)ln(c/a)}
となります。
このように電気力線の広がっていくことは電位の和を計算するときに円筒だと対数が入ってくることになります。

球殻の場合は和の計算に逆数が入ってくることになり、電位そのものは直列的に和となるのですが、電位の形がrに依存した複雑な形となることは避けることができません。電位の和の計算、静電容量の定義を踏まえた計算が必要です。

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