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熱力学について質問です。

jga********さん

2019/1/2718:05:30

熱力学について質問です。

初めに、添付の画像を読んでください。

③式は理想気体の準静的過程における熱力学第一法則の一部分ですが、
私は、この式が等容下でのみ成り立つものだと考えてしまいます。
その理由は、②式を導く過程で、体積を一定と条件付けているからです。

どなたか、③式が等容過程以外でも成り立つという説明を宜しくお願いします。

熱力学,理想気体,CvdT,体積,準静的過程,熱力学第一法則,一部分

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ベストアンサーに選ばれた回答

hor********さん

2019/1/3023:57:26

>その理由は、②式を導く過程で、体積を一定と条件付けているからです。

違いますよ。(2)が導けるのはu = u(T)と、uが温度だけの関数だからです。一般には内部エネルギーは温度と体積の関数で書け、

du = (∂u/∂T)v dT + (∂u/∂v)t dv

ですが、理想気体ではuが体積に依存しないので2項目の(∂u/∂v)tが0で過程によらず

du = (∂u/∂T)v dT

になる。(∂u/∂T)vがcvに等しいことは導出されているので、cvに書き直せば

du = cv dT

質問した人からのコメント

2019/2/1 22:16:43

回答をしてくださった御二方、
大変分かりやすい説明を有り難うございました。どちらの回答も丁寧で納得のいく説明でした。

ベストアンサー以外の回答

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pla********さん

2019/1/3022:21:22

dq=dU+PdV...(i)
が熱力学第一法則に対応する式です。
さてT, Vを独立変数とした時、Uの全微分は
dU=(∂U/∂T)_vdT+(∂U/∂V)_tdV...(ii)
です。このdUを(i)に代入すると
dq=(∂U/∂T)_vdT+((∂U/∂V)_t+P)dV...(iii)
になります。一方dqを
dq=CvdT+LdV...(iv)
と熱係数を使って書けば、Cvは体積一定の時系の温度を1 K上げるに必要な熱量で定積比熱であり、Lは系の体積を1単位だけ大きくした時に系の温度を一定に保つために供給しなければならない熱量、つまり体積変化の潜熱である、ということになります。ここに出てくるCvがもともとの定積比熱の意味です。
(iii)と(iv)を比較すると
(∂U/∂T)_v=Cv...(iv)
(∂U/∂V)_t+P=L...(v)
であることがわかります。
ここで理想気体の時はVはUに影響しないという事を使います。(ii)で見ればそれは
(∂U/∂V)_t=0...(vi)
という事を意味します。証明は省きますが、一般に
(∂U/∂V)_t=T(∂P/∂T)_v-P...(vii)
が成立します。理想気体ならP=RT/Vですから、(vii)の右辺はゼロになる、つまり(vi)が成立することが容易に分かります。
(vi)を(v)に使えばL=Pですから、(iv)は
dq=CvdT+PdV...(viii)
となります。理想気体なら(viii)は成立する、ということです。

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