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複素関数論です。解き方を教えてください

kou********さん

2019/1/3118:35:40

複素関数論です。解き方を教えてください

複素関数論,解き方,AIP,xsin,ロピタル,Zp,isin

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sch********さん

編集あり2019/2/400:04:25

∫[0,∞]xsin(ax)/(x⁶+1) dx
=(1/2) ∫[-∞,∞]xsin(ax)/(x⁶+1) dx
として
∫[-∞,∞]xsin(ax)/(x⁶+1) dx
を計算します。
f(z)= ze^(aiz)/(z⁶+1)
として
C=C1+C2
C1: z=x (-R≦x≦R) 実数軸
C2: z=Re^(iθ) (0≦θ≦π)

∮[C]f(z)dz
の周回積分の値を求めます。

f(z)の極は
z⁶+1=0 の解
z⁶=-1=e^(πi+2nπi)
z= e^(πi/6+πni/3)
n=0,1,2,3,4,5

C内での極は
z=e^(πi/6)
z=e^(πi/6+πi/3)=e^(iπ/2)=i
z=e^(πi/6+2πi/3)=e^(5πi/6)
であるので、
それぞれの留数を求めます。

そこで
p=e^(πi/6)
とすれば
3つの極は
z=p,p³,p⁵
であり
z⁶+1=0
は、z=±p,±p³,±p⁵
の6つの解を持ち
z⁶+1=0
z⁶-(-1)=0
z⁶-p⁶=0
(z-p)(z⁵+z⁴p+z³p²+z²p³+zp⁴+p⁵)=0

と因数分解できるから

z=pの留数は
lim[z→p](z-p)f(z)
=lim[z→p] ze^(aiz)/(z⁵+z⁴p+z³p²+z²p³+zp⁴+p⁵)
=pe^(aip)/(6p⁵)
=p²e^(aip)/(6p⁶)
=-(1/6)p²e^(aip)

z=p³の留数は
lim[z→p³](z-p³)f(z)
= lim[z→p³](z-p³)ze^(aiz)/(z⁶+1)
で 0/0 になるので
ロピタルの定理を使って
{ze^(aiz)+(z-p³)(e^(az)+aize^(aiz)}/(6z⁵)
z→p³
=p³e^(aip³)/(6p^15)
= p³e^(aip³)/(6p³)
=(1/6)e^(aip³)

z=p⁵の留数は
lim[z→p⁵](z-p⁵)f(z)
= lim[z→p⁵](z-p⁵)ze^(aiz)/(z⁶+1)
で 0/0 になるので
ロピタルの定理を使って
{ze^(aiz)+(z-p⁵)(e^(aiz)+aize^(aiz)}/(6z⁵)
z→p⁵
=p⁵e^(aip⁵)/(6p^25)
= p⁵e^(aip⁵)/(6p)
=(1/6)p⁴e^(aip⁵)

留数の和は
-(1/6)p²e^(aip)+(1/6)p⁴e^(aip⁵)
+(1/6)e^(aip³)

ここで
p=e^(iπ/6)=√3/2+i/2
p³=e^(iπ/2)=i
p²=e^(iπ/3)=1/2+i√3/2
p⁴=e^(2iπ/3)=-1/2+i√3/2
p⁵=e^(5iπ/6)=-√3/2+i/2
であるので
留数の和は,
-(1/6)p²e^(aip)+(1/6)p⁴e^(aip⁵)+(1/6)e^(aip³)

ここで
exp(aip)
=exp(ai(√3/2+i/2))
= exp(ai√3/2-a/2)
=e^(-a/2){cos(a√3/2)+isin(a√3/2)}

exp(aip⁵)
=exp(ai(-√3/2+i/2))
= exp(-ai√3/2-a/2)
=e^(-a/2){cos(a√3/2)-isin(a√3/2)}

だから
-p²e^(aip)+p⁴e^(aip⁵)
=-(1/2+i√3/2)e^(-a/2){cos(a√3/2)+isin(a√3/2)}
+(-1/2+i√3/2)e^(-a/2){cos(a√3/2)-isin(a√3/2)}

=-(1/2)e^(-a/2)cos(a√3/2)
-i(√3/2)e^(-a/2)cos(a√3/2)
-(i/2)e^(-a/2)sin(a√3/2)
+(√3/2)e^(-a/2)sin(a√3/2)

-(1/2)e^(-a/2)cos(a√3/2)
+i(√3/2)e^(-a/2)cos(a√3/2)
+(i/2)e^(-a/2)sin(a√3/2)
+(√3/2)e^(-a/2)sin(a√3/2)

=-e^(-a/2)cos(a√3/2)+√3e^(-a/2)sin(a√3/2)
=e^(-a/2){√3sin(a√3/2)-cos(a√3/2)}


よって
留数の和は
-(1/6)p²e^(aip)+(1/6)p⁴e^(aip⁵)+(1/6)e^(aip³)
=(1/6)e^(-a/2){√3sin(a√3/2)-cos(a√3/2)}+(1/6)e^(-a)

よって 留数定理より
∮[C]f(z)dz=2πi{(1/6)e^(-a/2){√3sin(a√3/2)-cos(a√3/2)}+(1/6)e^(-a)}

∫[-∞,∞]xsin(ax)/(x⁶+1) dx
は、∮[C]f(z)dzの R→∞ の 虚部と一致するので

∫[-∞,∞]xsin(ax)/(x⁶+1) dx
=(2π/6)e^(-a/2){√3sin(a√3/2)-cos(a√3/2)}
+(2π/6)e^(-a)

になります。

以上より
(π/6)e^(-a/2){√3sin(a√3/2)-cos(a√3/2)}+(π/6)e^(-a)

∫[0,∞]xsin(ax)/(x⁶+1) dx
の値になります。

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ssm********さん

2019/1/3118:53:56

a>0 とし、方針を示します。
f(z)=z*e^(ia*z)/(1+z^6) を、C=C1+C2 に沿って積分します。
C1 : z=x, (|x|≦R, 1<R).
C2 : z=R*e^(iφ), (0≦φ≦pi).
-------------
この結果、
∫[C]f(z)dz=2pi*i*Σ[k=0~2]Res(f, e^((2k+1)*pi*i/6)).
がなりたち、R→∞ として、上記結果をRe, Im に分離し、Im部分が求めるものです。計算してください。

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