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0以上x1以下において、不等式0以上x^2+2(a-2)x+a 2以下が成り立つような定数aの値...

anh********さん

2019/2/1304:42:43

0以上x1以下において、不等式0以上x^2+2(a-2)x+a 2以下が成り立つような定数aの値の範囲を求めよ
わからなくて困ってます
定数分離以外の解放でお願いします

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ベストアンサーに選ばれた回答

hir********さん

2019/2/1310:04:21

0≦x≦1 ‥‥①とし、f(x)=x^2+2(a-2)x+a、とする。
從って、①の条件で、f(x)の最小値≧0、f(x)の最大値≦2、であれば良い。

f(x)={x-(2-a)}^2+5a-a^2-4、であり、
これは下に凸の2次関数だから、軸の位置で値域も変わる。

Ⅰ.最大値 ‥‥ 変域の中間=1/2を分岐に変わる
・2-a≧1/2 → a≦3/2の時
最大値=f(0)=a≦2、だから、a≦3/2 ‥‥②
・2-a≦1/2 → a≧3/2の時
最大値=f(1)=3a-3≦2、だから、a≦5/3 → 3/2≦a≦5/3 ‥‥③

以上、②~③より、a≦5/3 ‥‥④


Ⅱ.最小値 ‥‥ 変域の右、中、左で変わる
・2-a≧1 → a≦1の時
最小値=f(1)=3a-3≧0、だから、条件はない ‥‥⑤
・0≦2-a≦1 → 1≦a≦2の時
最小値=f(2-a)=5a-a^2-4≧0、だから、1≦a≦4
つまり、1≦a≦2 ‥‥⑥
・2-a≦0 → 2≦aの時
最小値=f(0)=a≧0、だから、0≦a≦2 ‥‥⑦

以上、⑤~⑦より、 1≦a≦2‥‥⑧


よって、④と⑧から、1≦a≦5/3

  • 質問者

    anh********さん

    2019/2/1311:39:18

    これは参考書の問題なんですが、参考書だと最大、最小の場合分けの条件を無視して、いきなり、f(0)ゼロ以上、f(0)2以下、f(1)ゼロ以上、f(2)2以下の時のaの値の合同範囲を出してるのですが、これは条件の部分を書くのを省略してるだけなのでしょうか?

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質問した人からのコメント

2019/2/13 14:24:49

範囲を確かめなくてもいい理由があるんじゃないかと思っただけです。
ただ何より、回答ありがとうございました

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

pcg********さん

2019/2/1306:30:37

0≦x≦1において
0≦x^2+2(a-2)x+a≦2になる条件
f(x)=x^2+2(a-2)x+aとおく
=(x-(2-a))^2-a^2+5a-4
頂点(2-a,-a^2+5a-4)
(1)
2-a≦0(すなわちa≧2のとき)
f(0)=a≧0
f(1)=3a-3≦2
以上を満たすaはなし
(2)
a=3/2のときf(0)=f(1)だから
3/2≦a<2のとき
f(1)=3a-3≦2
f(2-a)=-a^2+5a-4≧0⇔1≦a≦4
よって
3/2≦a≦5/3
(3) 1≦a<3/2のときf(0)=a≦2
f(2-a)=-a^2+5a-4≧0⇔1≦a≦4
よって
1≦a<3/2
(4)
a<1のとき
f(1)=3a-3≧0
f(0)=a≦2
以上を満たすaはなし
(1)~(4)より
1≦a≦5/3

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