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振り子のポテンシャルエネルギーはmgl(1-cosθ)で表されることで有名ですが、これを...

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ID非公開さん

2019/3/108:46:50

振り子のポテンシャルエネルギーはmgl(1-cosθ)で表されることで有名ですが、これを微分すると力になると思うんですがどういう計算でそうなるのかいまいち分かりません。どうか計算式を教えてください!

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hor********さん

2019/3/111:43:44

角度をθの代わりにsとして、最下点から水平にx軸、鉛直にy軸を取るとして、

x = L sin(s)
y = L (1 -cos(s))

だから

tan(s)= x/(1-y/L) = x /(L - y)

微分すると、L-y=Lcos(s)なので

(1/cos^2(s))(∂s/∂x) = 1/(L-y)
∴ (∂s/∂x) = cos^2(s)/(Lcos(s)) = (1/L)cos(s)

(1/cos^2(s))(∂s/∂y) = x/(L-y)^2
∴ (∂s/∂x) = (Lsin(s))cos^2(s)/(Lcos(s))^2 = (1/L)sin(s)

したがって、

Fx = - ∂U/∂x = - (dU/ds)(∂s/∂x) = - mg sin(s) cos(s)
Fy = - ∂U/∂y = - (dU/ds)(∂s/∂y) = - mg sin(s) sin(s)

結果は重力の角度方向成分-mg sin(s)をx、y成分に分解したもの。

  • hor********さん

    2019/3/111:57:35

    極座標で微分すればもっと簡単で、角度方向の微分が(1/r)(∂/∂s)で今の場合はr=Lなので、力の角度方向成分が

    Fs = - (1/L)∂U/∂s = - mg sin(s)

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質問した人からのコメント

2019/3/7 22:04:22

ありがとうございます!

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