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a b c がともに正のとき(a+b)(b+c)(c+a)>=8abc

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ID非公開さん

2019/3/1614:00:03

a b c がともに正のとき(a+b)(b+c)(c+a)>=8abc

が成立することの証明の仕方を教えてください。

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jjs********さん

2019/3/2312:56:09

(a+b)(b+c)(c+a)>=8abc__の証明

(a+b)(b+c)(c+a)-8abc
=a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+2abc-8abc

=a(b^2+c^2-2bc)+b(c^2+a^2-2ab)+c(a^2+b^2-2ab)
=a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2≧0______証明終わり

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ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

hir********さん

2019/3/1615:21:01

相加平均・相乗平均を使う事になるが。


(a+b)≧2√(ab)、等号は、a=b、の時。
(b+c)≧2√(bc)、等号は、c=b、の時。
(c+a)≧2√(ac)、等号は、c=a、の時。
この3つの不等式を掛けると、(a+b)(b+c)(c+a)≧8abc
等号は、a=b=c、の時。

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