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ベクトルの問題です。なおベクトルは(v)表記。 kは実数の定数とする。Oを頂点とし...

dis********さん

2019/3/923:28:28

ベクトルの問題です。なおベクトルは(v)表記。
kは実数の定数とする。Oを頂点とし、平行四辺形ABCDを底辺とする四角錐O-ABCDがある。辺OAの中点をP、辺OBを2∶1に内分する点をQとし、直線OC上に

OR(v)=kOC(v)となる点Rをとる。
(1)直線DQと直線PRが交わるとき、kの値を求めよ。
(2)直線ODと平面PQRが平行であるとき、kの値を求めよ。

補足詳しく教えて頂けると助かります。

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yya********さん

2019/3/1012:38:08

ベクトル記号の矢印は省略します。

すべてのベクトルをOA,OB,OCだけで表すことを考えることにする。

OD=OA+AD=OA+BC=OA-OB+OC
OP=(1/2)OA
OQ=(2/3)OB
OR=kOC

(1)

DQとPRの交点をSとすると
SはDQ上の点なので
OS=(1-s)OD+sOQ=(1-s)OA-(1-s)OB+(1-s)OC+(2s/3)OB
=(1-s)OA+(-1+5s/3)OB+(1-s)OC
SはPR上の点なので
OS=(1-t)OP+tOR=(1/2-t/2)OA+ktOC
係数を比較して
1-s=1/2-t/2
-1+5s/3=0
1-s=kt
これを解いて
(k,s,t)=(2,3/5,1/5)

(2)

OD=uPQ+vPR
OA-OB+OC=u(-OP+OQ)+v(-OP+OR)
=u(-(1/2)OA+(2/3)OB)+v(-(1/2)OA+kOC)
=(-u/2-v/2)OA+(2u/3)OB+kvOC
係数を比較して
1=-u/2-v/2
-1=2u/3
1=kv
これを解いて
(k,u,v)=(-2,-3/2,-1/2)

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