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f(x,y)=-2e^(x+y)+y+x^2, (a,b)=(-1,1)の時、f(x,y)=0の定める点(a,b)を通る陰関数...

kazunium710さん

2019/4/1823:13:08

f(x,y)=-2e^(x+y)+y+x^2, (a,b)=(-1,1)の時、f(x,y)=0の定める点(a,b)を通る陰関数y=φ(x)の1階微分、2階微分で1階微分が-4、2階が-32になるのですがその解を導く過程を教えていただきたいです。

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kaz********さん

◆陰関数の微分

f(x,y)=0 両辺を x で微分 fx+fyφ´=0 (φ´=y´(x))

fy≠0のとき φ´=-fx/fy

両辺をさらに x で微分

φ“={(-fx)´fy+fx(fy)´}/fy²

={-(fxx+fxyφ´)fy+fx(fxy+fyyφ´)}/fy² ← φ´=-fx/fy

=(2fxyfxfy-fxxfy²-fyyfx²)/fy³




f(x,y)=-2e^(x+y)+y+x^2

fx=-2e^(x+y)+2x ⇒ fx(-1,1)=-4
fy=-2e^(x+y)+1 ⇒ fy(-1,1)=-1

(a,b)=(-1,1)のとき φ´(x)=-fx/fy=-4


同様に

fxx= ⇒ fxx(-1,1)=
fxy= ⇒ fxy(-1,1)=
fyy= ⇒ fyy(-1,1)=

(a,b)=(-1,1)のとき φ“(x)=

質問した人からのコメント

2019/4/21 14:55:56

ありがとうございます。

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