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数学Ⅲ、∫{log(x/2+2)}^2dxの二次元の項の係数は何故(y+4)になるのですか?

ses********さん

2019/5/301:41:07

数学Ⅲ、∫{log(x/2+2)}^2dxの二次元の項の係数は何故(y+4)になるのですか?

この積分、
後記のサイト様で確認したところ答えは

(x+4)(log(x+4))^2 + ((-2log2-2)x-8log2-8)log(x+4) + ((log2)^2+2log2+2)x + 4(log2)^2 + 8log2 + C

らしいですが、そもそも(x+4)が登場する理由も全く分かりません。
上の答えで言う(log(x+4))^2の係数が(x+4)になる理由を教えて下さい。

どなたかよろしくお願いします。

(というかこれ中堅高校三年生に解かせる問題じゃないよなあって)
https://ja.numberempire.com/integralcalculator.php

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ベストアンサーに選ばれた回答

ovw********さん

2019/5/302:00:35

そんなに複雑な答えにはならないと思います。
恐らく整理すれば私の出した答えと
一致するのではないかとは思いますが…

本題に入ります。
まず、「なぜx+4が出てくるのか」
ということですが、簡単に言えば
(x/2)+2=(x+4)/2だからです。

計算過程は以下の通りです。
t=(x/2)+2と置換します。
dt/dx=1/2→dx=2dt
その後、部分積分を行っています。
また、∫logt dt=tlogt-t+Cを用いました。
(C:積分定数)

そんなに複雑な答えにはならないと思います。
恐らく整理すれば私の出した答えと...

  • ovw********さん

    2019/5/302:21:38

    確認してみたところ、
    質問文中の答えも積分結果としては
    正しいものであることが
    分かりました。
    ただ、例えば最後の
    「+4(log2)²+8log2+C」のところで、
    4(log2)²+8log2は定数なので、
    これらをまとめて
    4(log2)²+8log2+C=C'と
    置き換えるべきでないか、など、
    問題に対する解答としては聊か適当とは言えないように思えます。

    参考↓http://m.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%AB%28log%28%28x%2F2%29%2B...

    ※なお、このサイトと私の解答は
    少し形が異なりますが、
    -2log(x+4)+log4
    =-2log(x+4)+2log2
    =-2{log(x+4)-log2}
    =-2log{(x+4)/2}
    =-2log{(x/2)+2}より
    等しい値であることが分かります。

返信を取り消しますが
よろしいですか?

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質問した人からのコメント

2019/5/3 11:23:29

tに置き換えることで2dtとなって後に(x/2+2)に2を乗算していたのですね…。
またご指摘の通り、本来積分定数で表される部分が余計に多かったです、これは私のミスでした。
計算過程まで示していただき誠に感謝です。
ありがとうございました!

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