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問題:平面 AB'C' に関して、B と C は同側にあり、 BB' と CC' は、平面 AB'C' ...

bqb********さん

2019/5/1617:22:57

問題:平面 AB'C' に関して、B と C は同側にあり、
BB' と CC' は、平面 AB'C' に垂直である。

∠BAC = 90° のとき、
∠B'AC' は、90° より大きいですか、小さいですか ?

途中経過もお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

gro********さん

2019/5/1820:03:23

投稿の補足の際に文字化けで何度かコメント欄を使ってしまったため、改めて投稿し直します。


・BB'=CC'の場合は明らか
(∵
B,Cを含みAB'C'に平行な面にAから下ろした垂線の足をA'とする。
A'から直線BCに下ろした垂線の足をHとする。これはAから直線BCに下ろした垂線の足と一致する。【なお、∠BAC=90°より、B, H, Cはどの2つも互いに一致せず、この順に一直線に並ぶ。】

このとき、
∠AA'H=90°>∠A'AHより、AH>A'H
このことと、∠AHB=∠A'HB=90°より、
∠ABH >∠A'BH
よって
∠HA'B = 90°-∠A'BH
> 90°-∠ABH = ∠HAB

同様にして、∠HA'C > ∠HAC

よって
∠B'AC'
=∠BA'C (∵ △B'AC'≡△BA'C)
=∠HA'B+∠HA'C
> ∠HAB+∠HAC = ∠BAC = 90°)

・BB'≠CC'の場合
BB'>CC'としても一般性を失わない。
直線BCと平面AB'C'の交点をC''とする。C''は直線B'C'上に存在する。
C'から直線AC''に下ろした垂線の足をHとする。これはCからAC''に下ろした垂線の足と一致する。【なお、∠CAC''<90°より、A, H, C''はどの2つも互いに一致せず、この順に一直線に並ぶ。】

∠CC'H=90°>∠C'CHより、CH>C'H
このことと、∠CHA=∠C'HA=90°より、
∠CAC''=∠CAH >∠C'AH=C'AC''

さらに、
Bから直線AC''に下ろした垂線の足をH'とする。これはB'からAC''に下ろした垂線の足と一致する。【なお、∠BAH'<90°より、H', A, C''はどの2つも互いに一致せず、この順に一直線に並ぶ(H'はAから見てC''の反対側にある)。】
∠BB'H'=90°>∠ B'BH'より、 BH'>B'H'
このことと、∠B'H'A=∠BH'A=90°より、
∠BAH'>∠B'AH'

したがって

∠B'AC'
=180°-∠B'AH'-∠C'AC''
>180°-∠BAH'-∠CAC''
=∠BAC=90°

  • gro********さん

    2019/5/1823:13:58

    「・BB&#39;=CC&#39;の場合は明らか」としましたが、「明らか」は「明らかに90°より大きい」の間違いでした。

    また、「90°」であることが重要とのことでしたが、「90°以上」であることが(垂線の足の位置との関係で)重要に思われます。

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質問した人からのコメント

2019/5/22 22:24:28

お二方とも本当にありがとうございました。
大変勉強になりました。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

nf1********さん

2019/5/1719:13:38

ベクトルABをv[AB]で、線分ABの長さをABで表す。
0=v[AB]・v[AC]=(v[AB']+v[B'B])・(v[AC']+v[C'C])
=v[AB']・v[AC']+v[AB']・v[C'C]+v[B'B]・v[AC']+v[B'B]・v[C'C]
=v[AB']・v[AC']+0+0+B'B・C'Cよりv[AB']・v[AC']<0
∴∠B'AC'は90°より大きい

まずベクトルでやってみました。
内積の分配法則すなわち内積の2つの定義が一致することによるものです。
これはほぼ余弦定理と同じなので余弦定理あるいは三平方の定理でもでき
るかなと思いました。

AB^2+AC^2=BC^2,AB^2=AB'^2+BB'^2,AC^2=AC'^2+CC'^2より
BC^2=AB'^2+BB'^2+AC'^2+CC'^2>AB'^2+AC'^2
∴∠B'AC'は90°より大きい

AB^2+AC^2<BC^2⇒∠BACは90°より大きい
これは余弦定理からは直ちに出ますが、三平方の定理からでも出ますね、
多分。今すぐにはできないのですが。

三平方の定理を使わない証明が望ましいと思いますがわかりません。

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