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tanx=1+√2 を満たすxを求めよ。

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sch********さん

2019/6/1107:16:26

tanx=1+√2 を満たすxを求めよ。

という問題は、高校生ならば図のような直角三角形ABCを書いて、∠A+∠ABC=90°=4θ
よって ∠ABC=3θ=67.5°(=3π/8)
と求めることができます。

これをarctan を知っている大学生だったらどう考えればいいでしょうか?

つまり
arctan(1+√2) を「計算して」 3π/8 とする方法です。
私は xy≠1、x>0、y>0 の時に成り立つ式
arctan(x+y)
=arctan{-1+√(1+4xy)/(2x)}+ arctan{-1+√(1+4xy)/(2y)}
を作って x=1、y=√2 をしてやってみましたが、逆に複雑になって(数値計算ではできましたが) ダメでした。
何かいい方法ありますか?

arctan,直角三角形ABC,tanx,数値計算,大学生,tan,pi

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ベストアンサーに選ばれた回答

ssm********さん

2019/6/1107:56:12

tanφ=1+√2, (0<φ<pi/2) について、
φ=・・・とはすぐにでてきません。
tan(pi/8)=t とおくと、
2t/(1 - t^2)=1 より、t=√2 - 1.
さらに、
tan(pi/4+pi/8)=1+√2.
となり、φ=(3/8)pi. を得ます。

  • 質問者

    sch********さん

    2019/6/1108:01:08

    「tan(π/8)=t と置くと」← これは 気づかないですよね。なぜ π/8 なのか?
    ということです。だったら t=tan(3π/8) とすれば 「偶然に」 回答を得てしまうわけで。

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