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x^2+xy+y^2-1=0の元でz=x+2yの極値を求めるのですがラグランジュの未定乗数法の使...

mat********さん

2019/6/1121:45:25

x^2+xy+y^2-1=0の元でz=x+2yの極値を求めるのですがラグランジュの未定乗数法の使うと極値になる可能性の数値はを求まるけどそれがなぜ極値になるのかわかりません。

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mat********さん

F(x,y,λ)=x+2y-λ(x²+xy+y²-1) とおく。

Fx=1-λ(2x+y)
Fy=2-λ(x+2y)

Fλ=Fx=Fy=0 ⇔ (x,y,λ)=(0,±1,±1) (複号同順)

極値候補は (x,y)=(0,±1)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%C2%B2%2Bxy%2By%C2%B2-1%3D0,...

x,y 座標では z=x+2y は直線を表し、z/2 がそのy切片。

x²+xy+y²-1=0…① のグラフから

楕円①と直線が

(0,1) で接するとき z=x+2y=2は最大(極大でもある)

(0,-1) で接するとき z=x+2y=-2は最小(極小でもある)


*教科書の受け売りですが…

この方法の良い点は「グラフから一目瞭然」ということ。

質問した人からのコメント

2019/6/12 09:59:51

わかりやすい解説ありがとうございました。

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