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この補題の証明をすることができません

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ID非公開さん

2019/6/2501:00:03

この補題の証明をすることができません

教えてください!

ノルム,ガウス整数,ガウス素数,n-im,素因数分解,補題,証明

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def********さん

2019/6/2622:24:20

複素数wの共役複素数をw*とし、wのノルムをN(w)と表します。


問題の条件は、wの複素平面において4回対称(wを±iw,-wと置き換えても不変。iは虚数単位)だから、0≦arg w<π/2 …① の範囲で題意を満たすwの個数を4倍して求めることにする。

素数p≡1 (mod 4) だから、フェルマーの二平方和定理より、素数pは、非負整数m,nを用いて、次のように書ける。
p=n^2+m^2 (n≧mとしても一般性を失わない。)

これを複素数の範囲で因数分解すると、
n^2+m^2=(n+im)(n-im)
とできるから、
p=(n+im)(n-im)

ガウス整数 n±im のノルムN(n±im)は、
N(n±im)=n^2+m^2=p
と素数になる。
ノルムが素数のガウス整数は、ガウス素数(後述の[補題1]参照)で、n≧mだから、n±im は正のガウス素数。
よって、p^kの標準的素因数分解を行うと、
p^k=(n+im)^k・(n-im)^k
と表せる。

p=ww*, n∓im=(n±im)*(複号同順)だから、①の範囲では、
w=(n+im)^j・(n-im)^(k-j) (ただし、j=0,1,2,・・・,k)
と標準的素因数分解ができる。
素因数分解の一意性より、他の表し方はないから、wは(k+1)個存在する。

よって、これを複素数平面全体に広げると、wの個数は4倍になるから、4(k+1) 個
となる。


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[補題1]
ガウス整数zのノルムN(z)が素数とする。
zがガウス素数でないと仮定すると、u,vをガウス整数(ただし、u,v≠±1, ±i)として、z=uv と書ける。
このノルムをとると、N(z)=N(u)N(v)
ところで、N(u),N(v)≠1 だから、N(z)は合成数となるが、これはN(z)が素数であることに反する。
よって、背理法より、zはガウス素数である。

-----
〔参考〕
n回対称
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E8%BB%A2%E5%AF%BE%E7%A7%B0

フェルマーの二平方和定理
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E5%80%8B%E3%81%AE%E5%B9%B3%...

ガウス整数
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E6%95%B4%...

ガウス素数
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E6%95%B4%...

素因数分解の一意性
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E6%95%B4%...


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補題4.31
素数p≡1 (mod 4)に対して、ww*=p^kを満たすようなw∊ℤ[i]の個数は、ちょうど4(k+1)個である。
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ID非公開さん(2019/6/25 01:00:03)への回答
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