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ディラックのデルタ関数δ(x)について、画像の2式は同値ですか? その場合、「上⇒...

aluminumさん

2019/6/2421:23:21

ディラックのデルタ関数δ(x)について、画像の2式は同値ですか?
その場合、「上⇒下」はf(x)=1を考えればわかるのですが、逆がよくわからないので教えてください。

ディラック,同値,デルタ関数,liim,シュワルツ超関数,疑似δ関数,distribution

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2019/6/2423:54:39

画像の2式は同値ではありません。
シュワルツ超関数の理論を前提に述べますと、
上は、δ関数の定義式といってよいと思います。fは試験関数と呼ばれます。
下は、δ関数の一つの性質を述べているに過ぎません。
上から下は証明できますが、逆は成立しません。

上から下への証明は、tre*様の言うとおり、
f(x)を1(定数関数)にすれば、直ちに右辺=f(0)=1となることから従います。

δ関数δ(x)はx≠0のとき0ですが、x=0を代入することはできません。
超関数は、代入が常に可能とは限りません。
つまり、δ(0)の値がどうなるか議論することはできません。

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jjs********さん

2019/6/2514:08:08

δ(x)=0__x=2のとき
δ(x)≠1__x≠2_〃__
のような疑似δ関数を考えることもできます。
その場合は上は__=f(2)です。

そのようなケースは考えないとすれば
δ(x)=0__x=0のとき
δ(x)≠1__x≠0_〃__

f(0)
=f(0)∫(-∞→∞)δ(x)dx
=∫(-∞→∞)f(0)δ(x)dx
=∫(-∞→∞)f(x)δ(x)dx
__liim(a→0){∫(-∞→-a)f(x)δ(x)dx+∫(a→∞)f(x)δ(x)dx
=∫(-∞→∞)f(x)δ(x)dx_________証明終わり

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もくやみさん

2019/6/2421:42:29

δ(x)を正規分布としても下の式は成り立ちますよね
下の式はδ(x)がdistributionであるという、ただそれだけのことを述べているだけなので、下→上は導けません

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ZeTeSさん

2019/6/2421:40:13

正確に、どういう問題ですか?

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