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杉浦光夫さんの解析入門についての質問です。

fwe********さん

2019/6/2518:27:40

杉浦光夫さんの解析入門についての質問です。

以下の画像の、定理8.1系3の証明における下線部分が感覚的には分かるのですが、証明出来ません。
わかる方、教えて下さい。
定理8.1は中間値の定理です。


解析学 微分積分学

杉浦光夫,定理,微分積分学,x-a&lt,定理8.1,解析入門,γ

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ベストアンサーに選ばれた回答

2019/6/2609:53:32

とりあえず、α<β は有限とします。
α=lim[x→a+0]f(x) の定義は
∀ε>0,∃δ₁>0, 0<x-a<δ₁ → |f(x)-α|<ε ですから
α<∀γ<β に対して、ε=γ-α(>0)と置けば f(x)<α+ε=γ

同様に
β=lim[x→b-0]f(x) の定義は
∀ε>0,∃δ₂>0, -δ₂<y-b<0 → |f(y)-β|<ε ですから
α<∀γ<β に対して、ε=β-γ(>0)と置けば f(y)>β-ε=γ

したがって、f(x)<γ<f(y)となる、x,yが存在する。すると
I'=[x,y] (または I'=[y,x])として、定理8.1から f(z)=γ
となる、z∈I' が存在する。なお、x,y∈Iなので z∈I


lim[x→-∞]f(x) =α の定義は、
∀ε>0,∃M₁>0, x<-M₁ → |f(x)-α|<ε ですから
α<∀γ<β に対して、ε=γ-α(>0)と置けば f(x)<α+ε=γ
となり、上と同じく、x,yが存在して同様の議論ができます。

  • 質問者

    fwe********さん

    2019/6/2722:57:00

    理解出来ました。
    ありがとうございます。
    因みにですが、グラフをいくつか書いてみるとどんな場合でも、x<yとなる様に、x,yのあたいを取れそうなので、[y,x]を考える必要がなくなると思うのですが、x<yの様にx,yの値が取れない事はありますか?
    あれば、グラフのイメージを教えて下さい。

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質問した人からのコメント

2019/7/2 06:52:11

回答、ありがとうございました。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

dap********さん

2019/6/2518:48:38

γ-α=2dとすると、f(x)→αだから、
∃δ>0, x-a<δ⇒|f(x)-α|<d

このとき、α-d<f(x)<α+d<γ.

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