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Aを無限集合とし、BをAと濃度が等しいか、もしくはAより濃度が小さい集合とします。

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ID非公開さん

2019/7/415:33:42

Aを無限集合とし、BをAと濃度が等しいか、もしくはAより濃度が小さい集合とします。

(i)A∪BとA
(ii)A×BとA

はそれぞれ濃度が等しいことを示せ。但し、(ii)でBは空集合でないとする。


この問題がわかりません。BからAの単射、AからBの全射が存在するので、上手く使って全単射を作ろうとしましたが、上手く出来ていません。
どなたか教えて下さい。

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ベストアンサーに選ばれた回答

齋藤 朗さん

2019/7/416:11:41

無限集合の濃度の問題ですから、
A={a1,a2,a3,…},B={b1,b2,b3,…}としてBもAと同じ濃度とします。
ここで全単射の関数を
(i) f:
a1→a1
a2→b1
a3→a2
a4→b2

と対応させれば、Aの濃度とA∪Bの濃度が一致することがわかるのでは?

(ii) g:
(a1,b1)→a1
(a2,b2)→a2
(a3,b3)→a3
(a4,b4)→a4

と対応させれば、A×Bの濃度とAの濃度が一致することがわかるのでは?

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    質問者

    ID非公開さん

    2019/7/822:27:55

    回答ありがとうございます。
    返信が大変遅れてしまい、申し訳ありません。
    (i)はご教授頂いた写像をもとに、Bが有限集合、card(B)<card(A)のそれぞれの場合にも適切な写像を作ることが出来ました。

    (ii)について、写像gによってA×BとAの濃度が一致する理由が分かりません。
    もう少し詳しく教えて下さい。
    よろしくお願いします。

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