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3次元のベクトル以上の 多次元でのベクトルの長さ(ノルム) を定義できると聞きま...

kou********さん

2019/7/813:13:46

3次元のベクトル以上の
多次元でのベクトルの長さ(ノルム)
を定義できると聞きました

→f={3,4,5,6,9}のとき
→fのノルムは
√1/5(3^2+4^2+5^2+6^2+9^2)
で表すよう書かれていたのですが

2次元ベクトルや3次元ベクトルでは
2や3で割ることはしなかったのになぜ多次元ベクトルではデータの数分割るのですか?
2次元3次元ベクトルとは全くの別物と考えているのですか?

関数ベクトルのノルムについても
[0,1]の範囲においてf(x)=xのノルムは
√(1/1-0)∫[0→1]x^2dx
で求めると書いてあったのですが
答えが√1/3になりました
xが0から1の範囲での関数f(x)=xの長さ√2
というわけではないのですか?

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inn********さん

2019/7/814:31:23

前半について.

普通は多次元ベクトルのノルムも
f={3,4,5,6,9} → |f|=√(3^2+4^2+5^2+6^2+9^2)
と2次元、3次元と同様に定義します。次元で割ったりはしません。
どこに書かれていたのかわかりませんが何かのミスではないでしょうか。

ただし、一応言っておくと、
ノルムを|f|=√1/5*(3^2+4^2+5^2+6^2+9^2)と定義することが
間違いな訳ではないです。
ノルムはベクトルの大きさに対する定義を与えるものです。
一般にノルムに課せられる条件(ここでは細かいことは言いませんが)を
満たしさえすれば色々なノルムを定義することができます。

後半について.

関数ベクトルというのは、[0,1]で定義されたf(x)を
{f(0), f(0.001), f(0.002), ... ,f(0.998), f(0.999), f(1)}
のようにベクトルとみなすものです。
ただし変数xは連続なので無限次元のベクトルです。

関数ベクトルのノルムを、上と同様
「各要素の絶対値2乗の和の平方根」
と定義すると、f(x)のノルム(単なる数としてのf(x)のノルム|f(x)|と
区別するため||f(x)||とします)は
|| f(x)|| = √( f(0)^2+ f(0.001)^2 + ... + f(1)^2 )
ベクトルの次元を無限に戻すと、
|| f(x) || = √( ∫[0→1] f(x)^2 dx )
となりますので、f(x)=xの場合には
|| f(x) || = 1/√3
です。

f(x)が[0,1]に描く曲線(この例では直線)の長さではなく、
f(x)^2が[0,1]に描く曲線の長さになります。

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質問した人からのコメント

2019/7/9 14:34:12

最後まで付き合っていただきありがとうございました

普段使う2次元ベクトルと関数ベクトルの共通点も教えていただきスッキリしました

基底の取り方によらないという点も結果から納得できました

もう少しノルムという概念について勉強します

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