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コイン250枚!数学の質問です。(3)の解答をお願いします。

n10********さん

2019/7/1119:00:41

コイン250枚!数学の質問です。(3)の解答をお願いします。

n10fudshud,x軸,極値,極大値,実数解,解答,数学

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ju_********さん

2019/7/1119:48:10

◆n10fudshudさんへ


関数が極大値を持つのは、
グラフが、単調増加(右肩上がり)→単調減少(右肩下がり)と変化する部分がある場合です。
(つまり、逆U字型になる部分があるということ)

f(x)はx^4の係数が正であるから、
xがすべての極値をとる点よりも小さいときは単調減少。
xがすべての極値をとる点よりも大きいときは単調増加。
(つまり、最初の方は右肩下がり、最後の方は右肩上がりになるということ)

このことから、
f(x)=x^4-ax^2+bxが極大値を持つのは、
単調減少→単調増加→単調減少→単調増加と変化するとき。
すなわち、
極値をとる値が三つあるときです。

f'(x)が異なる三つの実数解を持つ場合ということになります。

f(x) = x^4 - ax^2 + bx
をxで微分すると、
f'(x) = 4x^3 - 2ax + b

ここで、
g(x) = 4x^3 - 2ax + b
とします。

g(x)が異なる三つの実数解を持つ条件を考えます。

3次関数のg(x)が異なる三つの実数解を持つのは、
y=g(x)のグラフがx軸と異なる3点で交わる場合。

そうなるのは、
g(x)が極大値と極小値を持ち、
極大値がx軸の上側、つまり正で、
極小値がx軸の下側、つまり負になる場合。

極大値と極小値の積は負となります。

g(x) = 4x^3 - 2ax + b
をxで微分すると、
g'(x) = 12x^2 - 2a

g'(x)=0が異なる二つの実数解を持つための条件は、
-4・12・(-2a)>0
⇒ a>0

このときのg'(x)=0の解をα,βとすると、
g(α),g(β)が極値となります。

よって、g(x)が異なる三つの実数解を持つ、
すなわち、極小値と極大値の積が負となるのは、
g(α)・g(β)<0
を満たす場合です。

(4α^3 - 2aα + b)(4β^3 - 2aβ + b)<0 …(*)
を考えます。
αはg'(x)=0の解であるから、
12α^2 - 2a = 0
⇒ 12α^2 = 2a
を満たします。

同様に、βはg'(x)=0の解であるから、
12β^2 = 2a
を満たします。

(*)の不等式は、
(12α^3 - 6aα + 3b)(12β^3 - 6aβ + 3b)<0
⇒ (2aα - 6aα + 3b)(2aβ - 6aβ + 3b)<0
⇒ (-4aα + 3b)(-4aβ + 3b)<0
⇒ 16a^2αβ - 9b^2<0

g'(x)=0の解と係数の関係より、
αβ = (-2a)/12 = (-a)/6

よって、上の不等式は、
16a^2{(-a)/6} - 9b^2<0
⇒ -16a^3 - 54b^2<0
⇒ 16a^3>54b^2
⇒ 8a^3>27b^2

最終的にこれがf(x)が極大値を持つための条件となります。
a>0、かつ、8a^3>27b^2
が答えとなります。

質問した人からのコメント

2019/7/12 08:44:33

ありがとうございます。

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