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1/(x^4+1)^3の積分の過程を教えてください。よろしくお願い申し上げます。

fuk********さん

2019/7/1215:34:27

1/(x^4+1)^3の積分の過程を教えてください。よろしくお願い申し上げます。

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ベストアンサーに選ばれた回答

2019/7/1223:37:14

1. 準備1
x⁴+1=(x²+1)²-(√2x)²={(x²+1)+√2x}{(x²+1)-√2x}
=(x²+√2x+1)(x²-√2x+1)
なので

1/(x⁴+1)=(1/2√2){(x+√2)/(x²+√2x+1)-(x-√2)/(x²-√2x+1)}
=(1/4√2){(2x+√2)/(x²+√2x+1)-(2x-√2)/(x²-√2x+1)}
+(1/4√2)√2{1/(x²+√2x+1)+1/(x²-√2x+1)}
=(√2/8){(2x+√2)/(x²+√2x+1)-(2x-√2)/(x²-√2x+1)}
+(1/4){1/(x²+√2x+1)+1/(x²-√2x+1)}

=(√2/8){(2x+√2)/(x²+√2x+1)-(2x-√2)/(x²-√2x+1)}
+(1/4)[1/{(x+1/√2)²+1/2}+1/{(x-1/√2)²+1/2)]・・・①

①から
I₁=∫1/(x⁴+1) dx
=(√2/8)log{|x²+√2x+1|/|x²-√2x+1|}
+(1/4)[√2tan⁻¹{√2(x+1/√2)}+√2tan⁻¹{√2(x-1/√2)}]

=(√2/8)log{|x²+√2x+1|/|x²-√2x+1|}
+(√2/4){tan⁻¹(√2x+1)+tan⁻¹(√2x-1)}・・・・②

2. 準備2
I₂=∫1/(x⁴+1)² dx=∫(1/4x³){4x³/(x⁴+1)²} dx
部分積分して
=(1/4x³){-1/(x⁴+1)}-∫(-3/4x⁴){-1/(x⁴+1)} dx
=-1/{4x³(x⁴+1)}-(3/4)∫1/{x⁴(x⁴+1)} dx
=-1/{4x³(x⁴+1)}-(3/4)∫{1/x⁴-1/(x⁴+1)} dx
=-1/{4x³(x⁴+1)}-(3/4){-1/(3x³)}+(3/4)∫1/(x⁴+1) dx
=-1/{4x³(x⁴+1)}+1/(4x³)+(3/4)I₁・・・・・③

3. 計算
1/{x³(x⁴+1)}=1/x³-x/(x⁴+1)
[1/{x³(x⁴+1)}]'=-3/x⁴-1/(x⁴+1)+4x⁴/(x⁴+1)²・・・④

I₃=∫1/(x⁴+1)³ dx=∫[1/{4x³(x⁴+1)]{4x³/(x⁴+1)²} dx
部分積分と④を使って
=[1/{4x³(x⁴+1)]{-1/(x⁴+1)}
+(1/4)∫{-3/x⁴-1/(x⁴+1)+4x⁴/(x⁴+1)²}{1/(x⁴+1)}dx

=-1/{4x³(x⁴+1)²}-(3/4)∫1/{x⁴(x⁴+1)}dx-(1/4)∫1/(x⁴+1)² dx
+∫x⁴/(x⁴+1)³ dx

=-1/{4x³(x⁴+1)²}-(3/4)∫{1/x⁴-1/(x⁴+1)}dx-(1/4)I₂
+(1/4)∫x{4x³/(x⁴+1)³} dx
最後の項を部分積分して

=-1/{4x³(x⁴+1)²}-(3/4)(-1/3x³)+(3/4)∫1/(x⁴+1)dx
-(1/4)I₂+(1/4)x{-(1/2)/(x⁴+1)²}+(1/4)∫(1/2)/(x⁴+1)² dx

=-1/{4x³(x⁴+1)²}+1/(4x³)+(3/4)I₁
-(1/4)I₂-(1/8)x/(x⁴+1)²+(1/8)I₂
=-1/{4x³(x⁴+1)²}+1/(4x³)-(1/8)x/(x⁴+1)²+(3/4)I₁-(1/8)I₂
➂から
=-1/{4x³(x⁴+1)²}+1/(4x³)-(1/8)x/(x⁴+1)²+(3/4)I₁
-(1/8){-1/{4x³(x⁴+1)}+1/(4x³)+(3/4)I₁}
=-1/{4x³(x⁴+1)²}+1/{32x³(x⁴+1)}+7/(32x³)-x/{8(x⁴+1)²}
+(21/32)I₁

=(7/32)x/(x⁴+1)+(4/32)x/(x⁴+1)²+(21/32)I₁

②から
=(7/32)x/(x⁴+1)+(4/32)x/(x⁴+1)²
+(21/256)√2 [ log{|x²+√2x+1|/|x²-√2x+1|}
+2{tan⁻¹(√2x+1)+tan⁻¹(√2x-1)} ]

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質問した人からのコメント

2019/7/13 18:30:54

理解できました!ありがとうございます!

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