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物理の力学の問題です。 ポテンシャルが U(x)=x^3-2x^2+x で与えられる保存力...

fbi********さん

2019/7/2805:00:04

物理の力学の問題です。

ポテンシャルが
U(x)=x^3-2x^2+x
で与えられる保存力の元での質点の1次元運動に関して以下の問いに答えよ。
1.ポテンシャルの概型を、極小値、極大値及びその座標

が分かるように図示せよ。また、運動エネルギーとポテンシャルの和で定義される全エネルギーEの値により質点の運動を分類し、それぞれ場合の運動の特徴を定性的に述べよ。
2.この時の平衝点を全て求めよ。
3.ポテンシャルU(x)を極小値を与える点x_min周りでテイラー展開し、(x-x_min)^2の次数までで近似した式を求めよ。
4.全問で得られた近似的なポテンシャルに対してy=x-x_minとして運動方程式を解き、運動が周期的であることを確かめ、その周期を求めよ。
5.ポテンシャルU(x)を極大値を与える点x_maxの周りでテイラー展開し、(x-x_max)^2の次数までで近似した式を求めよ。
6.全問で得られた近似的なポテンシャルに対してy=x-x_minとして運動方程式を解き、一般解を求めよ。

解けるお方是非お願いします!

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lac********さん

2019/7/2820:14:36

U(x) = x^3-2x^2+x = x(x^2-2x+1) = x(x-1)^2
U’(x) = 3x^2-4x+1 = (3x-1)(x-1)
U”(x) = 6x-4

1.
U’(x) = 0
x = 1/3, 1
U”(1/3) = -2 < 0であるから、x = 1/3は極大である。
U”(1) = 2 > 0であるから、x = 1は極小である。

x : -∞ → 0 → 1/3 → 1 → ∞
U : -∞ → 0 → 4/27 → 0 → ∞

E > 4/27 では、x → -∞へ飛び去る。
4/27 > E > 0でx > 1/3ではEとUとの交点間で振動する。
E < 4/27でx < 1/3では、x → -∞へ飛び去る。

2,
x = 1/3 : 不安定平衡
x = 1 : 安定平衡

3.
U(x) = U(xmin)+U’(xmin)(x-xmin)+(1/2)U”(xmin)(x-xmin)^2
xmin = 1, U(1) = 0, U’(1) = 0, U”(1) = 2
U(x) = (x-1)^2

4.
F(x) = -dU(x)/dx = -2(x-1)
mx” = -2(x-1)
これは単振動の式である。
T = 2π√(m/2)

5.
U(x) = U(xmax)+U’(xmax)(x-xmax)+(1/2)U”(xmax)(x-xmax)^2
xmax = 1/3, U(1/3) = 4/27, U’(1/3) = 0, U”(1/3) = -2
U(x) = 4/27-(x-1/3)^2

6.
mx” = -2(x-1)
y = x-1
my” = -2y
y = Acos[√(2/m) t]+Bsin[√(2/m) t]
x = Acos[√(2/m) t]+Bsin[√(2/m) t]+1

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