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大学数学、解析(?)の問題です。

akb********さん

2019/8/1721:02:02

大学数学、解析(?)の問題です。

(3),(4)が分かりません。

f-gn gn-hn,sinnx sinmx,sinkx sinjx,内積,大学数学,解析,線型

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ZeTeSさん

編集あり2019/8/1800:52:24

フーリエ解析ですね
[-π,π]上で二乗可積分な関数全体の集合をL2とかくことにします
これから考える積分において積分範囲は全て(-π,π)です
B={1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,....}とします。
(f,g)=(1/2π)∫f*(x)g(x)dx
とおく(f*はfの複素共役)と、これはL2において内積になれます。
‖f‖=√(f,f)と置けばノルムになります。
線形代数で正規直交基底をしたと思いますが、
BはL2の完全正規直交系になります
b(n)=(sinnx,x)とおきます。
このとき、
x=∑2b(n)sinnx
(n=1,2,....)
がx=(2k-1)π (k=±1,±2,...)を除く全ての点で成り立ちます。
また
f(x)=x,g(x)=∑2b(n)sinnxとおくと
‖f-g‖=0がなりたちます。
これらはフーリエ解析の基本的な事実としてあります。
証明はところどころ少し長くなると思います。

⑶gn(x)=2(b(1)sinx+...+b(n)sinnx)
hn(x)=2(a(1)sinx+...+a(n)sinnx)
とおきます
J=2π‖f-hn‖^2
=2π(‖f-gn‖^2+‖gn-hn‖^2
+2Re(f-gn,gn-hn))
となります。
ここで、
f-gnはb(n+1)sin(n+1)x,b(n+2)sin(n+2)x,...
たちの和で
gn-hn=(b(1)-a(1))sinx+...+(b(n)-a(n))sinnx
です
よって内積の線型性を使うと
(f-gn,gn-hn)は
(sinkx,sinjx) (k>n,j≦n)の線型結合になることがわかります。
よって⑴を参考にすると
(f-gn,gn-hn)=0となります。
よって
J=2π (‖f-gn‖^2+‖gn-hn‖^2)
となります。
内積の線型性を使うと
2π‖gn-hn‖^2
=|b(1)-a(1)|^2+...+|b(n)-a(n)|^2
がわかります。
よって求める答えは
a(k)=b(k) (k=1,..n)です


‖f‖^2=π^2/3
b(n)=(-(-1)^n)/nがわかります。
また⑴から
‖g‖^2=2∑b(n)*b(m)(sinnx,sinmx)
=2∑|b(n)|^2
=2∑1/n^2
がわかります。
また三角不等式から
|‖f‖-‖g‖|≦‖f-g‖=0
よって‖f‖^2=‖g‖^2
この両辺を2で割れば
結果が得られました。

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