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代数学について質問です

hdi********さん

2019/9/1811:50:10

代数学について質問です

AとBを可換な環とし、MをA上の加群、PをB上の加群、NをA加群かつB加群でa \in A, b \in B, x \in Nでa(xb) = (ax)b をみたすものとします。

この時、 M @_A Nは自然にB加群の構造が入るそうなのですが、(@はテンソル積の記号とします)

自分は b \in B のスカラー倍を b(x@y)=m@(by) と定義しました。ここで

(1)上のスカラー倍がwell-definedであることの確認が必要か
(2)B加群になるための公理a \in A, x@y, z@w \in M @_A Nの対する a(x@y + z@w) = a(x@y) + a(z@w) であることの証明

がわかりません。上で定義したスカラー倍が和を保ってくれればいいような気がするのですが、わかりません。 よろしければ回答よろしくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

さん

2019/9/1821:24:40

well-definedになるよう次のように定義してはどうでしょう。
各b∈Bに対して、f_b:M×N→M@Nを
f_b((m, n))=m@nb
で定義すると、これはA-双線形ですので(ここにa(nb) = (an)bを使います)、ここからA-線形写像g_b:M@N→M@Nで、
g_b(m@n)=m@nb
を満たすものが唯一つとれます。従ってx∈M@N, b∈Bに対して、bx=g_b(x)と定義すればwell-definednessは気にしなくてよいです。

(2)はg_bの線形性から従います。後は(b+b')x=bx+b'xは示さなければならないと思いますが。

多分これで定義できていると思いますがどうでしょう。

  • 質問者

    hdi********さん

    2019/9/1821:27:52

    なるほど、universality から誘導すれば well-definednessもチェックせずに矛盾なく定まり、さらに欲しかったわを保つことも手に入れられるのですね

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質問した人からのコメント

2019/9/18 21:30:08

ありがとうございます。しっかりと理解できました!

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

cet********さん

2019/9/1812:55:03

(1)well-definedでないならば写像とはいいません

(2)これが、スカラー積の定義です

返信を取り消しますが
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