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以下の質問に答えていただけるとありがたいです。

pan********さん

2019/10/2201:00:03

以下の質問に答えていただけるとありがたいです。

[1]ユークリッド空間R^2において、R^2の部分集合A={(x,y)|1<x<3,2≦y≦6}を考える。
(1)Aをx,y平面上に図示せよ。
(2)R^2∋p=(4,7),q=(3,5)について、p,qはそれぞれ
Aの内点.外点.境界点のうちどれか。証明も述べること。
(3)Aは開集合であるか。また、閉集合であるか。それぞれ証明をつけて述べよ。

よろしくお願いいたします。

補足コイン100枚差し上げます。
よろしくお願いいたします。

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回答数:
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ベストアンサーに選ばれた回答

fra********さん

2019/10/2817:26:11

ユークリッド位相の近傍系として正方形が取れることに注意すれば比較的楽に証明できます:

P=(a,b) の近傍系として

(a-ε, a+ε)×(b-ε, b+ε) ,ε > 0 ・・・・・(*)

が取れます。通常は (a,b) を中心とする開円板

{(x,y)|(x-a)^2+(y-b)^2 < r^2} ,r > 0・・・・・(**)

が近傍系ですが


{(x,y)|(x-a)^2+(y-b)^2 < r^2} ⊃ (a-r/√2,a+r/√2)×(b-r/√2,b+r/√2)


(a-ε, a+ε)×(b-ε, b+ε) ⊃ {(x,y)|(x-a)^2+(y-b)^2 < ε^2}


より、(*)と(**)は同じ位相を定めます。


(1) 略

(2)
(4,7) は外点:近傍 (3.5, 4.5)x(6.5, 7.5) は A とは交わらない
(3,5) は境界点:任意に近傍 (3-ε, 3+ε)x(5-ε, 5+ε) , ε<1 をとれば、A の点 (3-ε, 5) がこの近傍に入る

(3)
開集合でも閉集合でもありません。

(∵)
境界点 (2,2) は A に属するので、A は開集合ではない
境界点 (3,4) は A に属さないので、閉集合ではない

質問した人からのコメント

2019/10/28 20:43:48

ありがとうございました 助かりました

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